Kalenderberechnungen V

Esta piedra será el calendario más conocido del mundo.

 

Aprenderémos a leerle y aplicarle.

Índice

Introducción
Descripción de la Piedra del Sol
Las fechas centroamericanas
El ciclo calendario
Las series numéricas
El cálculo de los años
El cálculo de los dias
La "cuenta larga"
Los calendarios cristianos
La correlación de las fechas
Convertidor de fechas
Correlación mediante dias julianos
Día juliano de la fecha cristiana
Fecha cristiana del día juliano
Día juliano de la fecha azteca
Fecha azteca del día juliano
Las opciones del convertidor

Los Signos de los dias

1

Lagarto

Krokodil

Cipactli

2

Viento

Wind

Ecatl

3

Casa

Haus

Calli

4

Lagartija

Eidechse

Cuetzpalin

5

Serpiente

Schlange

Coatl

6

Muerte

Tod

Miquiztli

7

Venado

Hirsch

Mazatl

8

Conejo

Kaninchen

Tochtli

9

Agua

Wasser

Atl

10

Perro

Hund

Itzcuintli

11

Mono

Affe

Ozomatli

12

Yerba

Gras

Malinalli

13

Caña

Rohr

Acatl

14

Tigre

Ozelot

Ocelotl

15

Águila

Adler

Cuautli

16

Zopilote

Geier

Cozcacuautli

17

Temblor

Bewegung

Ollin

18

Pedernal

Messer

Tecpatl

19

Lluvia

Regen

Quiátuitl

20

Flor

Blume

Xochitl

Los números aztecas 1 ... 13

1

ce

2

ome

3

yei

4

nahui

5

macuilli

6

chicuace

7

chicome

8

chicuei

9

chicuhnahui

10

matlactli

11

matlactli ozce

12

matlactli omome

13

matlactli omey

La ciudad de México en 1528.

Introducción

Por lo común el calendario azteca evoca la imagen de esa Piedra del Sol que hallaron el 17 de diciembre de 1790 en la plaza mayor de la ciudad de México y que ahora se encuentra en el Museo Nacional de Antropología, en el bosque de Chapultepec, la zona en que los aztecas dejaron sus primeras huellas en 1256 d. C. Esta piedra nos muestra todos los elementos de los calendarios antiguos de Centroamérica, pero este calendario con su raro principio de contar los dias ya estaba en uso por culturas mucho más antiguas, sobre todo las de los Olmecas y Mayas. Su calendario estaba tan extendido que varios historiadores son de la opinión que hubiese habido una conferencia calendaria en el año de 765 d.C. en Copán, en la que sincronizaron sus calendarios y el principio del año calendario. Los aztecas llegaron siglos después a Centroamérica y adoptaron ese principio calendario.

¿ Pero como funciona este calendario ? Para responder a esta pregunta observaremos la piedra detalladamente.

Descripción de la Piedra del Sol

Alexander von Humboldt, que tuvo la oportunidad de examinar la piedra en 1803, nos reporta en su libro Vues des Cordillères et Monuments des Peuples Indigènes de l'Amérique que aquella piedra fue hallada 70 metros al oeste de la segunda puerta del palacio del virrey, hoy día el palacio del presidente de México llamado el Palacio Nacional, y 30 metros al norte del Portal de las Flores, que fue un mercado de flores en esa epoca, en una profundidad de solamente 50 centimetros y el lado grabado hacia abajo. La piedra es de pórfido gris oscuro y Humboldt encontró hornablenda, mucho feldespato de vidrio y lositas de mica al examinar unos fragmentos. El círculo de los signos de los dias tiene un diámetro de 3.4 metros, pero toda la piedra fue un sillar de 4 x 4 metros con un espesor de un metro. El fragmento hallado tiene un peso de 24 400 kg.

Finalmente la Piedra del Sol no es calendario solamente, sino tambien nos cuenta de la mitología de los mexicanos antiguos y sus considerables conocimientos astronómicos. En el centro de la piedra encontramos el rostro de Tonatiuh, el Dios solar. Porque la cara esta dañada ya no es fácil decidir si sale la lengua o un pedernal de su boca. Los cuatro dibujos alrededor de su cabeza recuerdan a las cuatro creaciones del mundo de la mitología centroamericana y representan las fechas en que ocurrieron:

El signo al lado derecho muestra la fecha azteca 4-Ozelotl, él del lado izquierdo la fecha 4-Ecatl, sigue abajo a la izquierda la fecha 4-Quiátuitl y finalmente abajo a la derecha encontramos la fecha 4-Atl de la cuarta creación del mundo. Entre las fechas 4-Ozelotl y 4-Ecatl indica una flecha hacia las demarcaciones entre los signos Cipactli y Xochitl, el primer y el último día en el círculo de dias. Al lado derecho de esa flecha se encuentra la fecha 1-Tecpatl, a la izquierda el signo Tletl que puso Humboldt en relación con la fecha del lado derecho. La flecha más arriba de la cabeza es el meridiano mexicano que indica a la fecha 13-Acatl que se concidera como el año 1479 d.C. en que fue elaborada esa piedra. Debajo de los signos 4-Quiátuitl y 4-Atl estan grabadas las fechas 1-Quiátuitl y 7-Ozomatli, que se concideran como los dias de los dos equinoccios. Humboldt interpretó la última fecha como 2-Ozomatli y puso los cinco puntos al lado derecho de la cabeza del mono en relación con el signo Malinalli que esta debajo de estos puntos en el círculo de dias.

¿ Pero qué significan todos esos jeroglíficos combinados con números ? Ya va siendo hora dedicarse a la construcción de las fechas centroamericanas.

Ernst  Förstemann

Bibliotecario en Dresden

Billete mexicano de 1989

Las fechas centroamericanas

Gracias a las investigaciones del Codex Dresden del bibliotecario Ernst Förstemann sabemos que ya los mayas calculaban en el sistema vigesimal, así que no es asombroso que cada mes de los mexicanos antiguos tuviese 20 dias. En la Piedra del Sol el círculo primero alrededor del sol contiene los 20 signos de los dias del mes, comenzando con Cipactli a la izquierda de la flecha interior encima de Tonatiuh. Los signos van en contra las manecillas del reloj según la ordenación de la tabla a la izqierda cuyos dibujos estan tomados del Codex Borgia. La semana azteca tuvo trece dias y por eso se habla de una trecena. La misteriosa fecha mexicana en el fondo no es nada más que la combinación del número del día de la semana de trece dias con el signo diario del mes de veinte dias. Por eso el número de la fecha circula de uno a trece y el signo de uno a 20 de manera que el dia catorce lleva la combinación uno con el decimoquinto signo, porque es el primer día de la segunda semana, pero el día quince del mes, y que el día veintiuno lleva la combinación ocho con el primer signo, porque es el octavo día de la segunda semana y el primer día del segundo mes. Así resultan 13 x 20 permutaciones de número y signo y en fin la posibilidad de señalar 260 dias sin repetición. El calendario de este ciclo se llama Tonalpohualli y era el calendario religioso. En la universidad de Nürnberg-Erlangen en Alemania circuló la opinión que estos 260 dias fuesen derivados de la duración del embarazo. Otra explicación es, que en 15° latitud norte el sol pasa el meridiano en el cenit cada 260 dias. La tercera explicación hace referencia a la pregunta por qué se usaban trece dias. Durante un día la luna describe casi el mismo ángulo en el cielo que el sol en trece dias y como calcularon con el sistema vigesimal obtuvo un ciclo de 20 x 13 = 260 dias.

Los meses aztecas

1

Izcalli

2

Cuauhuitlehua

3

Tlacaxipehualiztli

4

Tozoztontli

5

Hueitozoztli

6

Toxcatl

7

Etzcualiztli

8

Tecuilhuitontli

9

Hueitecuilhuitl

10

Tlaxochimaco

11

Xocolhuetzi

12

Otchpaniztli

13

Teotleco

14

Tepeihuitl

15

Quecholli

16

Panquetzaliztli

17

Atemoztli

18

Tititl

Como el año tiene 365 dias, tuvieron un calendario solar de esta duración que también usaron simultáneamente y que se llamó Xiuhpohualli. El año tuvo 18 meses de 20 dias y quedó un resto de 5 dias, llamados Nemontemi en los cuales no hicieron absolutamente nada porque estos dias concideraron como aciagos. ¡El calendario siguió contando sin embargo! Los meses eran según la tabla a la izquierda. Este principio del calendario solar nos ofrece una estructura matemática que investigaremos poco a poco más adelante.

Los años no tuvieron números como en los calendarios del viejo mundo, sino llevaron la combinación del último día delante del primer día Nemontemi según el calendario azteca, pero en toda Mesoamérica también solieron llamar el año con el primer día del año. La fecha que contiene la combinación del año la llamaremos de ahora en adelante representante del año. ¿Pero cuál número lleva este último día?

Teotihuacan

Según la mitología se reunieron los dioses en esa ciudad para asesorarse como realizar la cuarta creación del mundo.

Comenzando el recuento con la combinación 1-Cipactli el día 260 es él último día del Tonalpohualli y por lo tanto es, a la vez, el último día de su última semana y el último día de su último mes. En consecuencia es señalado con el último número y el último signo, así: 13-Xochitl. El Xiuhpohualli tiene cien dias más y luego comienzan los cinco dias Nemontemi. El signo del último día debiera de ser el mismo del día 260 porque faltan 5 meses de 20 dias o signos. Cien dias tienen siete semanas de trece dias y sobran 9 dias que efectivamente es el número del último día del año (7 x 13 = 91, 100 - 91 = 9). Por lo tanto nuestro año azteca, comenzando con 1-Cipactli se llamaría 9-Xochitl.

El signo del primer día siempre sigue a él del representante de un año.

El número del representante se calcula del número del primer día

adicionando 13 - 5 = 8

y dividiendo la suma entre trece.

El residuo es el número buscado.

El número del primer día se calcula del número del representante

adicionando 18

y dividiendo la suma entre trece.

El residuo es el número buscado.

A esta regla derivada del Tonalpohualli podríamos añadir una regla para calcular el número del primer día del año del número del representante derivada inmediatamente del Xiuhpohualli. Suponiendo que el año comienza con el primer día de la semana de trece dias, tendríamos 28 semanas completas en un año (28 x 13 = 364). Por lo tanto la semana siguiente de trece dias comienza con el último día del año y por eso generalmente este día lleva el mismo número que el primer día. Entonces del número del representante, que a causa de los dias Nemontemi está ubicado cinco dias antes del último día del año, da como resultado el número del primer día adicionando el complemento de cinco a trece, que es ocho, al número del representante y dividir la suma entre trece. El residuo de esa división es el número buscado.

Para la tarea inversa de calcular número y signo del representante cuando es conocida la fecha azteca del primer día del año, hay que restar cinco al número del primer día, adicionando trece porque puede resultar suma negativa y dividiendo la suma entre trece. El residuo es el número buscado.

En muchos libros que encontré se explica la función del calendario mesoamericano empezando con la combinación 1-Cipactli como he descrito arriba o con 1-Malinalli, pero por desgracia no hubo nunca ni año 9-Xochitl ni 9-Ozomatli que resultarían como representantes de estas fechas iniciales. Para comprender eso tenemos que mirar la estructura del calendario un poco más cerca.

Ya sabemos que un año azteca consiste de 18 meses de 20 dias. Porque se sigue contando durante los dias vacíos Nemontemi, el signo del primer tal como él del último día del año retroceden cinco signos cada año. Por eso la cuenta calendaria pasa a través de los 20 signos exactamente en cuatro años y la cuenta llega al mismo signo cada quinto año, porque veinte es divisible entre cinco sin residuo. Eso significa que no hay más de cuatro signos para señalar los años, a los otros 16 la cuenta no alcanza nunca. Según todas las fuentes conocidas estos cuatro signos son Calli, Tochtli, Acatl y Tecpatl. Vale la pena de echar una mirada a la Piedra del Sol y buscar estos signos: cada uno lleva una flecha arriba y está posicionado encima de una de las cuatro creaciones del mundo.

En resumen podemos decir por lo tanto que la combinación del primer día de la cuenta debe de empezar con cualquier número de uno hasta trece, pero de todas maneras con uno de los signos Cuetzpalin, Atl, Ocelotl o Quiátuitl. ¿ Pero cuál número y cuál signo ? Otra vez la Piedra del Sol nos da la respuesta: el Dios Tonatiuh lleva en la frente el signo Ome-Acatl que significa dos caña, el primer año de la cuenta. Eso nos dice que en Tenochtitlán el ciclo del calendario empezó el día 7-Ocelotl.

Ilustración del calendario azteca del siglo XVIII.

El ciclo calendario

Fuese posible pensar desde luego, que los inventores después 52 años solares de uso se diesen cuenta que Tonalpohualli de 260 dias tal como el calendario solar Xiuhpohualli de 365 dias de repente empezó de nuevo el mismo día con la misma fecha, pero como los Mayas tuvieron conocimientos astronómicos y matemáticos por lo menos del nivel de los griegos antiguos y sistema numeral de notación posicional, es poco probable que los inventores de este principio calendario encontrasen los números usados por casualidad. Examinaremos los números de su calendario desde este punto de vista.

Dejando comenzar los dos calendarios en el día número uno el último día del Tonalpohualli lleva el número 260, el ciclo siguiente 520 etc., pero siempre el número ordinal del último día será divisible entre 260 sin residuo. Igualmente el número ordinal del último día del Xiuhpohualli será divisible entre 365. Por lo tanto el último día de los dos calendarios debe de ser el primer día cuyo número es divisible entre 260 y 365.

¡Este día no es el día número 260 x 365 = 94900!

Los factores primos de

260

... 5 ... 13      

365

... 5 ... 73  

=

× 5 × 13 × 73 = 18980

Cada número natural es número primo o es producto de factores primos. El número más pequeño que esta divisible entre otros dos números, él que estamos buscando entonces, es él en cuyo producto de factores primos cada factor primo de los dos números aparece una sola vez. Conforme a la tabla a la izquierda este producto consiste de los factores 2², 5, 13 y 73. Este producto - y nuestro resultado - es el día 18980. Dividido entre 365 dias resultan los 52 años solares, el así llamado ciclo calendario y dividido entre 260 dias 73 ciclos del Tonalpohualli.

La progresión de las series

Signo del año

Año

Mes

0

1

7

8

9

10

0

2

1

2

3

4

0

3

8

9

10

11

0

4

2

3

4

5

0

5

9

10

11

12

0

6

3

4

5

6

0

7

10

11

12

13

0

8

4

5

6

7

...

...

...

...

...

...

0

15

8

9

10

11

0

16

2

3

4

5

0

17

9

10

11

12

0

18

3

4

5

6

1

1

10

11

12

13

1

2

4

5

6

7

1

3

11

12

13

1

1

4

5

6

7

8

1

5

12

13

1

2

1

6

6

7

8

9

1

7

13

1

2

3

1

8

7

8

9

10

1

9

1

2

3

4

1

10

8

9

10

11

1

11

2

3

4

5

...

...

...

...

...

...

Las series numéricas

Un fenómeno que resulta de la combinación de trece números y veinte signos es que los números de las fechas aztecas se someten a una serie cíclica.

Como ya se ha manifestado el ciclo calendario de 52 años empieza con el día 7-Ocelotl del año 2-Acatl. Veinte dias después encontramos el signo Ocelotl otra vez, ahora combinado con uno. La explicación es que Ocelotl es el signo del día catorce del mes, y empezando con número siete el recuento sigue en el ciclo de los veinte signos hasta la combinación de número trece con signo veinte, fecha 13-Xochitl entonces, empieza de nuevo de número uno a trece, la fecha 13-Acatl, y empezando de nuevo el recuento llega a 1-Ocelotl.

La tabla a la izquierda muestra los números de la combinación con los cuatro signos que pueden aparecer en la fecha del primer día del año. Manifestamos que se alternan las series de siete y de uno a trece aumentando cada 40 dias en uno. Por el tratamiento de los dias Nemontemi el cambio del año no tiene ninguna influencia en eso. La combinación 1-Ocelotl aparece de nuevo cada 13 × 20 dias = 260 dias como cada combinación. ¡Eso significa que cada combinación o fecha azteca de los dias 261 hasta 365 aparece por la segunda vez en un año de 365 dias!

Mapa del golfo de México y plano de la ciudad, publicados en 1524.

El cálculo de los años

Ahora vamos a dedicarnos a la manera de calcular la combinación del último día de un año. Primero vamos a calcular el número.

Según nuestra regla de la progresión el número del día 6-Acatl, que va adelante del primer día 1-Ocelotl, en 360 dias aumenta 360 ÷ 40 = 9 veces. Después del séptimo aumento se llega al número trece y porque después el recuento vuelve a empezar en uno, de los aumentos octavo y noveno resulta el número dos. Siguen los cinco dias Nemontemi y así el número del día que va delante del primer día del próximo año es siete.

Aumentando ahora el número siete de la misma manera llegamos a número trece ya después de seis aumentos y por eso el resultado es tres y con los cinco dias Nemontemi llegamos a ocho. Repitiendo este algoritmo llegamos a nueve, después a diez etc. Manifestamos que el número de la fecha azteca del último día del año aumenta cada año en uno. Esta regla también es valida para el primer día del año.

Todos los números de las combinaciones calendarias ocurren de manera cíclica con el mismo signo.

Los números del mismo signo forman una serie alterna del recuento de siete a trece y uno a trece.

En Xiuhpohualli el número de la combinación del primer tal como del último día del año aumenta cada año en uno.

Ya hemos averiguado que los dias Nemontemi causan un aplazamiento del signo de la combinación del año de cinco en adelante. Entonces podemos determinar ahora la combinación de cualquier año del Xiuhpohualli en el ciclo calendario.

El cuarto año por ejemplo lleva el signo Tochtli, porque el primer año lleva signo trece, tres años más, quiere decir 3 x 5 = 15 signos más es 28, dividido entre veinte queda un residuo de ocho y signo número ocho es Tochtli. La combinación del primer año lleva el número dos, tres años más tarde el número es cinco.

Resulta que el cuarto año tiene la combinación 5-Tochtli.

En las combinaciones aparece la congruencia de

númerop ~ númeron (mod 13); n < 53

En las combinaciones aparece la congruencia de

signop ~ signon (mod 5); n < 21

El conjunto de soluciones es

{ 3, 8, 13, 18 } y universal.

Desarrollaremos una regla para la tarea inversa cuando la combinación del año es conocida y queremos saber su lugar en el ciclo del calendario. Tomaremos el cuarto año, 5-Tochtli, como ejemplo otra vez.

El número del año conocido (cinco) menos el número del primer año del ciclo calendario (dos) es la cantidad de los años que pasaron desde el principio del ciclo calendario, pero por desgracia solamente hasta el año doce. En el año trece la cuenta empieza de nuevo y el representante del año está combinado con el número uno y resulta que el año 17 no podemos diferenciar del cuarto año en absoluto, porque lleva el número cinco en su combinación también, igual como los años 30 y 43. Expresado matemáticamente tenemos la congruencia de númerop ~ númeron (mod 13); n < 53 con el conjunto de las soluciones { 5, 18, 31, 44 } en nuestro ejemplo.

Como ya manifestado, el número del signo del año salta cada año por cinco. Por eso ya el quinto año lleva el mismo signo como el primer año. Aquí tenemos la congruencia de signop ~ signon (mod 5); n< 21 que tiene el conjunto de soluciones { 8, 13, 18, 3 }, por fin los signos Tochtli, Acatl, Tecpatl y Calli que ya identificamos como los únicos signos de los representantes de los años aztecas.

Manifestamos que para el número, tal como para el signo resultan varias soluciones. Por lo tanto hay que encontrar criterios para disminuir la cantidad de soluciones a una sola. Una posible idea sería, excluir números y signos pares o impares.

El número de la combinación de un año tal es par cuando lo cumple la condición

[ númeron (mod 13) ] (mod 2) = 0;

n < 14.

El número del signo de la combinación de un año tal es par cuando lo cumple la condición

5 × añon (mod 2) = 0; n < 53.

Cada número aparece dos veces con signo de número par y dos veces con signo de número impar.

El número del primer año es par, él de su signo es impar. La combinación del segundo año lleva el número impar y signo par etc. La combinación del año doce lleva el número impar trece, por eso el número del signo debe de ser par. Año trece lleva el número uno que es impar, pero ahora el número del signo es impar también, porque los números de los signos alternan continuamente. Lo mismo ocurre en los años 25/26, 38/39 y 51/52. Por lo tanto el número de la combinación de un año tal es par, si cumple la condición [ númeron (mod 13) ] (mod 2) = 0.

Nuestro año cuarto (5-Tochtli) por ejemplo lleva el número 4 + 1 = 5, dividido entre trece aún queda el residuo de cinco y ese dividido entre dos deja el residuo de uno: nuestra condición no se cumple, el número es impar.

Ruinas del templo mayor en México

En el ciclo calendario cada número aparece dos veces con un signo cuyo número es par y dos veces con signo de número impar. Si el número del signo es par determinamos en decidir si la condición 5 × (añon + 1) (mod 2) = 0; n < 53 está cumplida.

Con estas dos condiciones podemos limitar la cantidad de las soluciones posibles de cuatro a dos con unas pocas reflexiones. En nuestro ejemplo, 5-Tochtli el número es impar y el número del signo (ocho) es par. Las soluciones son 5 - 1 = 4, las otras tres soluciones son 4 + 13 = 17, 17 + 13 = 30 y 30 + 13 = 43. Estos son los números ordinales de los años, el número de la fecha siempre es número ordinal + 1 y por eso la otra solucion valida, con número impar en la combinación, es el año 30. Buscamos la solución de una combinación de número impar, número del signo par y por eso el número del signo del año 30 tendría que cumplir la condición 5 × 30 (mod 2) = 0, que es cierto.

Todavía nos quedan dos soluciones y la decisión final sale de la pregunta si la combinación del cuarto o del treintavo año lleva signo Tochtli, o sea signo número ocho. Porque el número del signo del primer año, Acatl, es trece, nuestra combinación debe cumplir la condición 13 + 5 × (añon - 1) (mod 20) = 8; n < 53, lo que es correcto con 13 + 5 × (4 - 1) (mod 20) = 8, pero falso con 13 + 5 × (30 - 1) (mod 20) = 18. Por fin llegamos a la solución que el año 5-Tochtli es el cuarto año en el ciclo calendario.

Baile azteca en el Zocalo - México

El cálculo de los dias

Ahora podemos establecer una regla para determinar la combinación de un día tal después del inicio del Xiuhpohualli. Como ejemplo tomaremos el día número 10627.

Lo que primero tenemos que calcular es el año de la fecha buscada, lo que encontramos simplemente dividiendo entre 365. Como resultado obtenemos 29 años enteros y un residuo de 42 dias del año treinta.

Aplicando nuestra regla de la combinación del año obtenemos 29 ( un año menos ) × 5 = 145 signos + 13 ( el signo primero ) = 158. Dividido entre veinte queda un residuo de 18, lo que es el número del signo buscado, Tecpatl. El primer año lleva el número dos, 29 años más es 31, dividido entre trece queda un residuo de cinco, el número buscado. El día número 10627 está ubicado en el año de la combinación 5-Tecpatl.

Falta calcular la combinación de los 42 dias restantes. Para esto determinaremos la combinación del primer día del año ya conocido, aplicando nuestra regla: tenemos (5 + 18) ÷ 13 = 10-Quiátuitl. Según la regla de la progresión el número aumenta una sola vez en 42 dias y llegamos a once. Adicionando el residuo de dos dias al número (ocho) y signo (Quiátuitl) obtenemos la combinación buscada: la fecha azteca del día número 10627 del ciclo calendario es 13-Cipactli en el año 5-Tecpatl.

En la escalera del Templo del Sol

en Teotihuacán.

La "cuenta larga"

Según el algoritmo desarrollado en el capítulo anterior podemos calcular la combinación de cada día del Xiuhpohualli durante el ciclo calendario, 365 dias x 52 años = 18980 dias, pero en lapsos de tiempo más grandes no podemos definir un día unívoco. Por eso los Mayas usaban lo que se llama "cuenta larga" hoy día, pero cayó en desuso ya antes de la fundación de Tenochtitlán en 1325. El calendario de los Mayas empezó con la fecha maya de 4-Ahau 8-Cumhu que está relacionado con el 13 de agosto 3114 a. C., pero encontré fuentes según las cuales esta más usada correlación de Goodman, Martínez Hernández y Thompson discrepa de los datos astronómicos del Codex Dresden. En especial en un eclipse solar, que tuvo lugar en octubre del año 859, hay una diferencia de unos dos ciclos calendarios, aproximadamente unos 104 años. Veremos que la correlación del calendario azteca causará problemas similares.

Conferencia calendaria, siglo XVI

Los calendarios cristianos

En mis páginas sobre la calculación del Domingo de Pascua expliqué que el calendario juliano, introducido por Julius Caesar en el año 46 a.C., está atrasado porque el año solar tarda unos 11 minutos menos que la duración del calendario juliano, que es de 365 dias y 6 horas. Unos 1600 años después de su introducción esta falta calendaria ya resultaba en 1600 años x 11 minutos = 12 dias que era bastante notoria. Por eso el Papa Gregorio XIII reformó el calendario juliano en 1582 d.C. y el resultado usamos hasta el día de hoy como calendario gregoriano.

Realizando el formulario para calcular el Domingo de Pascua no permití fechas ubicadas antes del año 1583 para evitar las conversiones calendarias, pero como todas las fechas de la conquista de México tienen referencia al calendario juliano, hay que tener en cuenta los dos calendarios cristianos ahora.

Según el calendario gregoriano

el día del equinoccio de primavera es el 21 de marzo,

hay año bisiesto cuando el número entero del año es divisible entre cuatro sin residuo,

con la excepción del primer año del siglo, que es año bisiesto solamente, cuando el número del siglo también es divisible entre cuatro sin residuo.

Hasta el 28 de febrero de 1700 el calendario juliano iba atrasado en 10 dias con respecto al calendario gregoriano.

Esta diferencia se aumenta el 1 de marzo de los años 1700, 1800 y 1900 cada vez en un día.

La diferencia más importante es la corrección de la fecha para compensar los dias que faltaron. Por ésta razón el 4 de octubre de 1582 siguió el 15 de octubre inmediatamente. ¿ Por qué una corrección de 10 dias aunque en el párrafo anterior calculamos 12 dias ? Desde la introducción del calendario juliano lo aplicaron mal insertando el año bisiesto ya cada tres años. Este error lo notó el emperador romano Augusto y ordenó omitir los años bisiestos hasta la compensación de esta falta y probablemente se equivocaron de nuevo.

La otra diferencia se refiere a los años bisiestos, mejor dicho, a la regla de insertar el día. Según el calendario juliano hay año bisiesto cuando el número del año es divisible entre cuatro sin residuo. Según la nueva regla del calendario gregoriano el primer año de un siglo no es año bisiesto, si el siglo no es divisible entre cuatro. Así el año 1600 era año bisiesto porque 16 es divisible entre cuatro. Los años 1700, 1800 y 1900 no eran años bisiestos porque la división de los números de los siglos 17, 18 y 19 entre cuatro deja residuo.

En resumen según el calendario gregoriano, que usamos hasta el día de hoy, el calendario juliano va atrasado los 10 dias de la corrección de 1582 y los 3 dias que resultan del hecho, que según el calendario juliano, al contrario que el calendario gregoriano, los años 1700, 1800 y 1900 eran años bisiestos, entonces un total de trece dias hasta los fines del siglo XXI.

El museo de antropología en Chapultepec - México

Centro de Tenochtitlán antigua

La correlación de las fechas

Cada calendario del mundo cuenta los dias continuamente empezando en una fecha determinada. Fecha de inicio y magnitud del número del día dependen del campo de aplicación, pero podemos manifestar que para convertir una fecha de un calendario a otro basta conocer las dos fechas de cualquier día o sus números según los dos recuentos de los dias.

Buscando una fecha hay que considerar que con respecto al calendario azteca cada fuente histórica está insegura por varias razones. Los conquistadores vinieron desde Cuba y es posible que no llevasen su calendario correcto o se equivocasen en sus apuntes. Además es posible que comprendiesen mal a los indios o recibiesen informaciones falsas etc.

Tenemos varias fuentes que nos ofrecen la fecha cristiania y la fecha azteca de un día tal, pero desgraciadamente hay bastante confusión en estas informaciones. Muchas veces se usa la correlación de Alfonso Caso con la fecha 1-Coatl del año 3-Calli como el día de la caída de Tenochtitlán, que corresponde al 13 de agosto de 1521 según el calendario juliano.

Otros usan la fecha juliana de la llegada de Hernando Cortés en Tenochtitlán el 8 de noviembre de 1519, que era según Bernardino de Sahagún el día 1-Ecatl en el año 1-Acatl, pero ésta correlación no es muy probable, porque Sahagún no reportó nada más que el cuento de los mexicanos antiguos sobre el regreso de Quetzalcoatl en el año de su nacimiento 1-Acatl. No obstante, llama la atención, que en la mencionada correlación de Alfonso Caso el día 8-Ecatl es el 9 de noviembre de 1519.

Sin discutirlo más, seguiremos a la mayoría, relacionando la fecha juliana del 13 de agosto de 1521 con la fecha azteca 1-Coatl en el año 3-Calli.

Joseph Justus Scaliger 4./5.8.1540 - 21.1.1609

Convertidor de fechas

Acumularemos los conocimientos recién ganados para desarrollar un convertidor de fechas gregorianas, julianas y mexicanas en el lenguaje de programación JavaScript. En vez de inventar una propia cuenta larga contaremos en dias julianos, que también nos facilitará la correlación calendaria.

Realizándolo cumpliremos los pasos siguientes.

Determinar la fecha fija para la correlación del calendario juliano con él de los aztecas,

implementar los algoritmos para calcular el día juliano de cualquier fecha cristiana,

implementar una función para calcular la diferencia temporal de cualquier fecha cristiana desde nuestra fecha anclada,

desarrollar los algoritmos para convertir un día juliano en su fecha juliana o gregoriana,

implementar los algoritmos para calcular el día juliano de cualquier fecha azteca,

implementar una función para calcular la diferencia temporal de cualquier fecha azteca desde nuestra fecha anclada,

desarrollar los algoritmos para convertir un día juliano en su fecha azteca.

Dias julianos se calcula así

a = ( 14 - mes ) / 12

y = año + 4800 - a

m = mes + 12 × a - 3

k = día + ( 153 × m + 2 ) / 5

+ 365 × y + y / 4

El día juliano para una fecha

del calendario juliano es

k - 32083

y del calendario gregoriano

k - y / 100 + y / 400 - 32045

Se convierte dias julianos

en fechas gregorianas

a = JD + 32044

b = ( 4 × a + 3 ) / 146097

c = a - 146097 × b / 4

en fechas julianas

b = 0

c = JD + 32082

y aplicando estos parámetros

d = ( 4 × c + 3 ) / 1461

e = c - 1461 × d / 4

m = ( 5 × e + 2 ) / 153

día = e - ( 153 × m + 2 ) / 5 + 1

mes = m + 3 - 12 × m / 10

año = 100 × b + d - 4800 + m / 10

Correlación mediante dias julianos

El recuento de los dias julianos, desarrollado por el francés Scaliger, no se debe confundir con el calendario juliano. El día inicial de este recuento es el primer de enero 4713 a.C., porque en este año la Indicción, el Número de Oro y el Número Solar resultan en uno. El recuento es cíclico y vuelve en el período juliano de 15 x 19 x 28 = 7980 años a su día inicial, la próxima vez en el año 3268 d. C. Por lo tanto el período presente de este recuento cubre todo el espacio de tiempo necesacio.

En la astronomía se usa las reglas a la izquierda para determinar el número de un día tal. Para el 13 de agosto 1521 del calendario juliano obtenemos

a =

0

y =

6321

m =

5

k =

2308911

día juliano del 13.08.1521 =

2276828

Para facilitar las cuentas siguientes calcularemos el día juliano del principio del primer ciclo calendario empezando en 1299 d. C.

Ya que conocemos el día juliano de nuestra fecha de relación, 1-Coatl en el año 3-Calli, calcularemos primero el inicio del ciclo calendario que contiene esta fecha de referencia y luego el inicio del primer ciclo calendario.

El día del ciclo calendario

se calcula así

La fecha mexicana tenga la forma general

dían-días, añon-años

El conjunto de las soluciones es

añon (mod 13) = n; n < 53 =

{ n + 0 × 13, ... , n + 3 × 13 }

= conjunto ca = { a1, ..., a4 }

Signos con números pares aparecen en

5 × x (mod 2) = 0; x elemento ca,

con números impares en

5 × x (mod 2) <> 0; x elemento ca

y da como resultado el conjunto

cs = { s1, s2 }

El número ordinal del año en el

ciclo calendario sea ax

y cumple con

13 + 5 × (sx - 1) (mod 20) = años;

sx elemento cs

Año ax comienza en la fecha

añon + 18 (mod 13)-años + 1

Los dias desde el principio del mes:

d = días + 20 - años + 1 (mod 20)

El día principal del mes tiene número

díam = dían + 13 - d (mod 13)

Los meses desde el principio del año:

díam + 13 - díax (mod 13) * 2 +

| díam (mod 2) - díax (mod 2) |

Aplicando nuestra regla encontramos el conjunto de las soluciones de añon (mod 13) = 3; n < 53 = { 3, 16, 29, 42 }, en números ordinales { 2, 15, 28, 41 }. Calli es signo número tres y signos impares pueden aparecer en la combinación de los años 5 × número ordinal del año (mod 2) <> 0 = { 15, 41 }. El signo número 3 aparece en 13 + 5 × (15 - 1) (mod 20) = 3, la condición que no cumple año 41. En resumen año 3-Calli es el año número quince en el ciclo calendario que entonces empezó en el año cristiano 1507.

Falta calcular la cantidad de los dias que pasaron en año 3-Calli hasta el día 1-Coatl.

Según nuestra regla este año empieza en el día 8-Cuetzpalin. Como averiguado el número de la combinación aumenta por uno cada segunda vez que vuelve a aparecer su signo y la diferencia de dos números vecinos en un signo es siete, con tal que no esté pasado del trece. Por eso 40 dias antes de la fecha 1-Coatl es 13-Coatl. La fecha 9-Coatl sigue a la fecha 8-Cuetzpalin y esta situada (13 - 9) + 1 × 40 dias = 200 dias + un día hasta 8-Cuetzpalin. Con los 14 años de 365 dias la diferencia es 5311 dias.

Ya sabemos que el calendario mexicano no nos permite cubrir un lapso de tiempo más largo que 52 años. Entre otros Alejandro de Humboldt nos reporta que el ciclo calendario que empezó en 1507 d. C. era el ciclo quinto desde la fundación de Tenochtitlán en 1325 d. C. y por eso realizamos nuestra cuenta larga dejando contar a nuestro software los ciclos calendarios desde el primer día del quinto ciclo calendario antes de 1507 d. C., que es el año 1507 - 4 × 52 = 1299.

El día juliano de nuestro inicio entonces es 2276828 - 5311 - 4 ciclos × 52 años × 365 dias = 2195597 que llamamos dJulOrigen en lo siguiente. Este día juliano resulta en la fecha mexicana 7-Ocelotl del año 2-Acatl y, de forma sorprendente, en el 21 de marzo 1299 según el calendario juliano, el comienzo calendario de la primavera por lo tanto. No obstante, este día no fue el equinoccio porque el calendario juliano ya atrasaba mas de siete dias en esta epoca. Si uno no quiere minimizar esto como casualidad, tendría que evaluar este hecho como indicio de que la fecha de referencia fue transmitida falsificada por los españoles.

Function JulDia(dia,mes,anno) {

var a, k, m;

a = Math.floor((14 - mes) / 12);

y = anno + 4800 - a;

m = mes + 12 * a - 3;

k = día + Math.floor((153 * m + 2)/5);

k = k + y * 365 + Math.floor(y / 4);

return k; }

Function dJulCal(dia,mes,anno) {

return JulDia(dia,mes,anno) - 32083; }

Function dGregCal(dia,mes,anno) {

return JulDia(dia,mes,anno) -

Math.floor(y / 100) +

Math.floor(y / 400) - 32045; }

Function dJulDif(dia,mes,anno) {

return dJulCal(dia,mes,anno) - 2271617; }

Function dGregDif(dia,mes,anno) {

return

dGregCal(dia,mes,anno) - 2271617; }

Día juliano de la fecha cristiana

Ya aprendimos como calcular el día juliano de una fecha juliana o gregoriana y no será problema el implementar ese algoritmo en JavaScript como lo presento a la izquierda. El algoritmo está realizado con las dos funciones dJulCal y dGregCal las que acceden a la función commún JulDia. dGregCal necesita el valor de y que está calculado en JulDia. Porque las funciones no pueden devolver más de un valor, la variable y está declarada global.

No es muy difícil añadir las dos funciones dJulDif y dGregDif que devuelven la diferencia de dias entre una fecha juliana o gregoriana y nuestra fecha origen.

Con eso tenemos todas las funciones necesarias para determinar el día juliano de una fecha cristiana y su distancia temporal desde el principio del ciclo calendario en 1299.

Function fJulDia(b,c,dia,mes,anno) {

var d, e, m;

d = Math.floor((4 * c + 3) / 1461);

e = c - Math.floor(1461 * d / 4);

m = Math.floor((5 * e + 2) / 153);

dia = e -

Math.floor((153 * m + 2) / 5) + 1;

mes = m + 3 - 12 * Math.floor(m / 10);

anno = 100 * b + d - 4800

+ Math.floor(m / 10); }

Function fJulCal(JD,dia,mes,anno) {

var c = JD + 32082;

fJulDia(0, c, dia, mes, anno); }

Function fGregCal(JD,dia,mes,anno) {

var a = JD + 32044;

var b = Math.floor((4*a + 3) / 146097);

var c = a - Math.floor(146097 * b / 4);

fJulDia(b, c, dia, mes, anno); }

Fecha cristiana del día juliano

Como siempre, lo más fácil de implementar son las ecuaciones y por eso en las tres funciones de la izquierda se encuentra las formulas presentadas más arriba casi una por una.

La función común fJulDia calcula tres resultados: día, mes y año. Ya que una función no puede devolver más de una variable directamente, llena tres variables definidas públicas. fJulDia es accedida de las dos funciones fJulCal y fGregCal que preparan unas variables dependiendo del calendario juliano o gregoriano y las entregan a la función común fJulDia junto con las variables día, mes y año.

Function dMexCal() {

var d, i, j, m, s, t;

var ca = new Array();

var cs = new Array();

var ax, an;

var JD;

for (i = 0; i < 4; i++) {

ca[i] = (aNum - 1 + 13 * i);

}

t = (aSig % 2);

j = 0;

for (i = 0; i < 4; i++) {

s = 5 * ca[i] % 2;

if (s == t) {

cs[j] = ca[i];

j++;

}

}

ax =

(13 + 5*(cs[0] - 1)) % 20 == aSig) ?

cs[0] : cs[1];

axNum = (aNum + 18) % 13;

d = (dSig - 1 + 20 - aSig) % 20;

m = -1;

for (i=0; i <= (13 + 5*Xiuh); i=i+2)

{

an = (axNum + i/2) % 13;

an = (an == 0) ? 13 : an;

if ((an % 13) == (dNum+26-d) % 13)

{

if (Xiuh == 0) {

m = i;

} else {

if (i >= 6) m = i;

}

break;

}

}

if (m == -1) {

for (i=1; i <= (13 + 5*Xiuh); i=i+2)

{

an =

(axNum - (axNum - (i + 1)/2)) % 13;

an = (an == 0) ? 13 : an;

if

((an % 13) == (dNum+26-d) % 13)

{

m = i;

break;

}

}

}

JD = (ax - 1) * 365 + 20 * m + d

+ dJulOrigen;

if (Ciclo > 0)

JD = JD + (Ciclo - 1) * 52 * 365;

return JD;

}

Function bMexCiclo(JD) {

JD += (Ciclo - 1) * 13;

return JD;

}

Function bMexJul(JD) {

JD +=

Math.floor((JD - dJulOrigen) / (365 * 4));

return JD;

}

Día juliano de la fecha azteca

La implementación consiste en una sola función dMexCal en que esta calculado el número ordinal del año desde hace el inicio del ciclo calendario y la cantidad de los dias desde hace el inicio del año de la fecha entregada según los algoritmos desarrollados arriba. La fecha azteca hay que entregar con la combinación del día y del año, y con el número ordinal del ciclo calendario. Los signos del las combinaciones estan esperados por sus números ordinales. Si no es conocido el ciclo calendario se entrega cero que esta tratado como el quinto ciclo que comenzó en 1507 d.C.

Primero se determina en cual año del ciclo calendario la fecha está situada y el número del primer día del año según la regla desarrollada. Además necesitamos el día del mes azteca d que se calcula sustrayendo el número del signo del año del número del signo del día, disminuido por uno porque el signo del primer día del año siempre sigue a el signo del representante del año.

Más costoso es determinar el lugar del día en el año azteca. Por desgracia las dos series numéricas juntadas en la sucesión de los números de las fechas con el mismo signo no nos permiten determinar la posición de un elemento tal por medio de una formula. Así no queda más que, comenzando con el número de la fecha del primer día del año, recalcular todos los elementos de la serie y comparar cada resultado con el número de la fecha entregada.

Para realizar eso incrementamos el número del primer día axNum en cada iteración de un bucle For/Next de cero a trece, la cantidad de los meses del Tonalpohualli, más cinco meses, si la variable Xiuh esta puesta. Porque la serie alterna tenemos que aumentar la variable de control i del bucle en cada iteración por dos. El resultado de cada iteración comparamos ya con el número de la fecha buscada. Si tenemos éxito en el primer bucle y Xiuh esta cero o i tiene más de cinco, llenamos la variable m, el mes del año azteca corriente y inicialmente puesta al valor de error -1, con el valor de la variable i, el número del mes, en que encontramos el número de la fecha. Si encontramos el número ya en los primeros seis meses aztecas y la variable Xiuh esta uno, podemos terminar el primer bucle también, pero sin cambiar la variable m, porque el número buscado está en la segunda serie. Si la variable m esta al valor de error despues del primer bucle, tenemos que buscar el número de la fecha en un segundo bucle For/Next, ahora de uno a trece más los cinco meses del Xiuhpohualli.

De esta manera encontramos la posición de la fecha buscada en el año azteca, porque ya concideramos dos hechos muy importantes. Una sustracción nunca debe de tener un resultado negativo. Para impedir eso hay que sumar (al menos) un período entero del tipo del minuendo primero y dividir la diferencia entre la cantidad de dias del período luego. El residuo de esta división es el resultado buscado. El segundo hecho es, que las primeras cien fechas de un año azteca vuelven a ocurrir como los últimos cien fechas del Xiuhpohualli, pero según la tabla de arriba nunca en la misma de los dos series de números. Por eso el número encontrado con el primer o el segundo bucle siempre es él correcto.

Hay fuentes según las cuales los aztecas insertaban una trecena al fin del ciclo calendario de 52 años y Sahagún reporta de seis dias Nemontemi cada cuarto años que correspondería exactamente con los años bisietos del calendario juliano. Vamos a tomar esto en consideración previendo opciones en nuestro software.

El tratamiento de las opciones de los años bisiestos ocurre en las funciones adicionales bMexCiclo y bMexJul las cuales hay que acceder con el día juliano de una fecha mexicana. Manteniendo la correlación de estas funciones determinan el principio de la cuenta de nuevo e insertan al día juliano entregado los dias bisiestos que faltan.

Function fMexCal(JD) {

var i = JD - dJulOrigen;

Ciclo = Math.floor(i/(52 * 365));

Ciclo++;

var d = i % (52 * 365);

var anno = Math.floor(d / 365);

Xiuh = (d - 365 * anno > 260) ? 1 : 0;

anno++;

aSig = ((anno - 1) * 5 + 13) % 20;

aNum = ((anno - 1) + 2) % 13;

var pSig = aSig + 1;

var pNum = (aNum + 18) % 13;

var dia = d % 365;

var s = dia % 40;

dNum = pNum + Math.floor(dia / 40);

dNum = dNum + s;

dNum = dNum % 13;

dSig = ((pSig + s) % 20 == 0) ?

20 : (pSig + s) % 20;

}

Fecha azteca del día juliano

La función fMexCal recibe una sola variable que es el día juliano de una fecha cristiana. Primero hay que restar el día juliano del principio de nuestra cuenta y calcular el número ordinal del ciclo y del día en el ciclo. Ahora podemos implementar el algoritmo descrito en una sección más arriba.

Como no puede devolver una función más de una variable las variables ciclo y aNum, aSig, dNum y dSig para año y día de la fecha mexicana son definidos como públicos facilmente aúnque no es un buen estilo de programación.

Con el número ordinal del año determinamos signo y número del representante. El signo de la fecha del día primero de ese año sigue al signo del representante facilmente e implementar la regla para determinar el número de la fecha del primer día no causa problemas tampoco.

Por fin calculamos el número ordinal del día en el año que aumenta cada 40 dias por uno. Por eso tenemos que adicionar el resultado de la división del día en el año por 40 al número del día primero. después adicionamos el residuo de la misma división. Este resultado es el número de nuestra fecha buscada pero podría ser mayor que trece y por eso el residuo de la división de este número por trece es nuestro número buscado. Por el resto de los dias aumenta el número ordinal del signo también y para determinar el signo de la fecha tenemos que adicionarlo. Este resultado pudiera superar la cantidad maximal de los signos y por eso también nos interesa nada más que el residuo de la división por 20.

Calendario cristiano

día mes año

fecha juliana

fecha gregoriana

Calendario azteca

.ciclo empieza en año

- -

Xiuhpohualli

Ningún año bisiesto

trecena al fin del ciclo

cada cuarto año un día

Las Opciones del convertidor

Este formulario permite ajustar con cual calendario cristiano se harán los cálculos y además se puede:

determinar el día juliano y la fecha mexicana de cualquiera fecha cristiana,

determinar la fecha cristiana y mexicana de cualquier día juliano,

determinar el día juliano y la fecha cristiana de cualquiera fecha mexicana,

Los cálculos se provoca con los botones azules. El cursor esta esperando que en ese campo de entradas se coloquen los datos nuevos. Por lo tanto la fecha estará calculado si pone el cursor en el campo de entradas del día juliano y pulsa el botón. Al revés si pone el cursor en cualquier campo de entradas de la fecha el día juliano estará calculado. Si una fecha mexicana calculada de una fecha cristiana resulta en los dias 261 hasta 365 de un año azteca la checkbox Xiuhpohualli esta marcada.