Kalenderberechnungen IV


Berechnung des Osterdatums

Wir haben nun gesehen, dass es schon schwierig genug ist, Erdrotation und Erdumlauf um die Sonne rechnerisch zu synchronisieren. Für den Ostersonntag müssen wir aber nun also auch noch wissen, wann Vollmond ist.

Wie wir bei den Mondkalendern schon erfahren haben, ist nur ungefähr alle 19 Jahre am selben Tage im Sonnenjahr Vollmond: Das tropische Jahr ist 525.949 Minuten lang, 19 Jahre ergeben also 9.993.031 Minuten. Zwischen zwei Vollmonden liegen 42.524 Minuten. Division dieser beiden Zahlen ergibt knapp 235 Mondumläufe in 19 tropischen Jahren, den Metonzyklus, der gleich noch eine wichtige Rolle spielen wird. Allerdings fehlen eine Stunde und 49 Minuten, das ist alle rund 247 Jahre ein Tag.

Carl Friedrich Gauß auf dem 10-MarkSchein

Carl Friedrich Gauß
Mathematiker ( 1777 - 1855 )

Der uns noch vom Zehnmarkschein her wohlbekannte Gauß, schon als Neunjähriger aufgefallen durch die Kenntnis um die Summenformel der arithmetischen Reihe, ersann nun einen Algorithmus, der als Gauß'sche Formel zur Berechnung des Osterfestes bekannt geworden ist und diesen widrigen Umständen durchgängig Rechnung trägt. Im wesentlichen beruht der Algorithmus auf der Isolierung von Teilerresten der Jahreszahl durch 19 Jahre für den Mondzyklus und durch 4 Jahre für die Schaltjahre. Diese Reste werden weiterverarbeitet und durch 30 für die synodische Umlaufzeit und 7 für die Wochentage zur Ermittlung weiterer Teilerreste dividiert. Die ermittelten Teilerreste werden schließlich um den ersten möglichen Tag nach Vollmond im Frühling, den 22. März, erhöht. Ist das Ergebnis größer 31, liegt Ostern im April.

Ab dem Jahr

m

n

1583

22

2

1700

23

3

1800

23

4

1900

24

5

2100

24

6

2200

25

0

Zwei dieser Teilerreste bleiben immer für wenigstens 100, seit 1900 für 200 aufeinander folgende Jahre gleich, weil die ausfallenden Schalttage zum Jahrhundertbeginn berücksichtigt werden. Die klassische Berechnungsmethode operiert deshalb mit der nebenstehenden Tabelle.

Die Parameter m und n sind die Divisionsreste aus den Ganzzahldivisionen

* m = Rest aus ( Jahr : 100 - Jahr : 400 - Jahr : 300 + 15 ) : 30

Die hier addierten 15 Tage stehen mit dem Metonzyklus in Zusammenhang. Dieser beginnt nämlich für die Gauß'sche Osterfestformel im Jahr 1 v. Chr. In diesem Jahr war Vollmond am 5. April, also 15 Tage nach Frühlingsbeginn.

* n = Rest aus ( Jahr : 100 - Jahr : 400 + 4 ) : 7

Ist nun aber weiter

* a = Teilerrest aus Jahr : 19

* b = Teilerrest aus Jahr : 4

* c = Teilerrest aus Jahr : 7

und errechnet man daraus

* d = Teilerrest aus ( 19 * a + m ) : 30

* e = Teilerrest aus ( 2 * b + 4 * c + 6 * d + n ) : 7

dann ist endlich Ostern am

* ( 22 + d + e )ten März

oder bei einem Ergebnis größer 31 am

* ( d + e - 9 )ten April

Allerdings gibt es immer noch zwei Ausnahmen zu beachten:

Merke:
Der Ostersonntag liegt per definitionem zwischen dem 22. März und dem 25. April

* Der Algorithmus könnte auch den 26. April ergeben und das ist nicht möglich: Vollmond ist spätestens 29 Tage nach dem 21. März, also am 19. April. Das ist entweder schon selbst ein Sonntag und damit der Ostersonntag, oder er liegt höchstens 6 Tage später, also am 25. April. Für den 26. April ist also immer der 19. April zu setzen.

* Für den 25. April ist eine Unschärfenkorrektur nötig, wenn d = 28, e = 6 und a größer 10 ist. In diesem Falle ist der 18. April zu setzen.

Die Berechnung der weiteren Feiertage beruht auf folgenden Grundlagen.

Rosenmontag = Ostersonntag - 48 Tage

Himmelfahrt = Ostersonntag + 39 Tage

Pfingstsonntag = Ostersonntag + 49 Tage

Fronleichnam = Ostersonntag + 60 Tage

Berechnungsjahr

Rosenmontag

Ostersonntag

Himmelfahrt

Pfingstsonntag

Fronleichnam

Die Berechnung wird durch Anklicken oder Verlassen des Eingabefeldes für die Jahreszahl ausgelöst.

Die Bestimmung des Ostersonntags und der beweglichen Feiertage ist «zu Fuß« recht aufwendig. Daher habe ich den oben beschriebenen Algorithmus in ein kleines JavaScript ­ Programm umgesetzt. Die Berechnung eines Ostersonntags vor der gregorianischen Kalenderreform ist damit allerdings nicht möglich, daher führt die Eingabe einer Jahreszahl kleiner 1583 zu einer Fehlermeldung.

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