Kleine Mathematik


Inhaltsverzeichnis

*

Rundungsfehler

Das Problem

Bei Verteilungsrechnungen stößt man wiederkehrend auf das in der nachfolgenden Rechnung dargestellte Problem.

Betriebskosten insgesamt

 27.345,89 € 

Umlagekoeffizient 93,914 €

werden auf folgende Mieteinheiten umgelegt:

 

Fläche

zweistellig

vierstellig

Fehler

Wohnung 1

43,56 m²

4.090,89 €

4.090,8938 €

0,0038 €

Wohnung 2

47,23 m²

4.435,56 €

4.435,5582 €

-0,0018 €

Wohnung 3

51,35 m²

4.822,48 €

4.822,4839 €

0,0039 €

Wohnung 4

50,37 m²

4.730,45 €

4.730,4482 €

-0,0018 €

Laden

98,67 m²

9.266,49 €

9.266,4944 €

0,0044 €

 

291,18 m²

27.345,87 €

27.345,8785 €

 

Rundungsfehler

0,02 €

0,0115 €

0,0085 €

Nicht selten will es nun - wie auch hier - mit noch so vielen Stellen nicht gelingen, wieder auf den zu verteilenden Betrag zu kommen. Die nachfolgenden Ausführungen konzentrieren sich auf die Frage

*wieviel Nachkommastellen der Koeffizient mindestens haben muß,

*was getan werden kann, wenn es an der Stellenzahl nicht liegt.

Dazu müssen wir wissen, wie groß der bei Rundungen entstehende Rechnungsfehler ist.

Rundungsarten und ihre Rechnungsfehler

Zahlen mit einer nicht abreißenden Folge von Dezimalstellen werden oft in der ausreichend genauen Stelle nach dem Komma durch Abwurf der übrigen Stellen verkürzt. Beispiel: 10 ÷ 3 = 3,33... Allgemein ist dann der Fehler kleiner als die Wertigkeit der letzten mitgeteilten Ziffer. Beim Runden wird die der ausreichend genauen Stelle folgende Ziffer betrachtet und der Rechnungsfehler ist damit höchstens von halber Wertigkeit der letzten mitgeteilten Ziffer, also kleiner als beim Abwurf.

Koeffizientenfehler und Ergebnisgenauigkeit

In einer Verteilungsrechnung tritt durch die Rundung des Koeffizienten ein Eingangsfehler auf, der ganz einfach durch Vergleich der Verteilungssumme mit der Gesamtfläche mal dem Koeffizienten, also für die Beispieltabelle zu 27.345,89 € ÷ 291,18 m² × 93,914 € = 0,01148 € genau ermittelt werden kann. Erst bei fünfstelliger Verwendung des Koeffizienten ergibt sich ein Fehler von 0,0001672 €. Die benötigte Stellenzahl zur Eliminierung des Eingangsfehlers ist also von der Größenordnung der Gesamtfläche abhängig.

Läßt man höchstens den Rechnungsfehler der Rundung zu, so gilt

*Gesamtfläche × halber Stellenwert der letzten Koeffizientenstelle

für die Beispieltabelle also

 Stellenzahl 

 Gesamtfläche 

 Eingangsfehler 

 Gesamtfehler 

3

291,18 m² ×

0,0005 € =

0,145... €

4

×

0,00005 € =

0,0145... €

5

×

0,000005 € =

0,00145... €

Der größte Eingangsfehler ist also erst bei fünf Stellen kleiner als der beim Runden höchstens entstehende Fehler von einem halben Cent.

Mindeststellenzahl des Koeffizienten

Statt wie im vorigen Abschnitt zu probieren, mit wieviel Stellen der Fehler klein genug ist, gibt es umgekehrt den Weg zur direkten Berechnung der ausreichenden Stellenzahl.

Für zweistellig mitzuteilende Ergebnisse folgt aus der Schrankenformel der Fehlerrechnung für die Multiplikation die Beziehung

0,005 > Gesamtfläche x 0,5 x 10 -k

mit k als benötigter Stellenzahl. Daraus folgt nach Umformung

k > lg Gesamtfläche + 2

und man kann zulässig vereinfachen

 

*Dezimalstellen des Koeffizienten > Vorkommastellen der Gesamtfläche + 2

Rechnungsrestfehler

Die in jeder Einzelausrechnung durch Rundung auf zwei Stellen erzeugten Rechnungsfehler ergeben im Einzelfall höchstens einen halben Pfennig nach oben oder unten und gleichen sich oft aus. Das Auftreten von Restfehlern ist zufällig, also nicht von der Anzahl der Verteilungsteilnehmer abhängig und kann auch durch eine noch so große Nachkommastellenzahl des Koeffizienten grundsätzlich nicht eliminiert werden. Umgekehrt ist genau dies untrügliches Zeichen für das Vorliegen eines solchen Fehlers. Insgesamt beträgt der Fehler in aller Regel nur ein bis zwei Cent. Konkrete Vorhersagen sind so wenig wie bei den Lottozahlen möglich. Der Fehler ist insbesondere in der Buchhaltung recht lästig.

Mitunter hilft die Anwendung einer weithin in Vergessenheit geratenen Rundungsregel: ist wegen einer fünf zu runden, so pflegte man früher "fünfe gerade sein zu lassen", es wurde also 0,475 zu 0,48, aber umgekehrt blieb 0,485 ebenfalls 0,48, damit die gerundete Ziffer gerade blieb. Microsoft Excel® beachtet diese Regel übrigens nicht.

Sonst kann man die Buchhalterin tatsächlich nur noch mit den bekannten Methoden zufrieden stellen und die eine oder andere Rundung "nachbessern".

Unterjährige Mehrwertsteuersatzänderung

Das Problem

Es sind Nettobetrag und Betrag der Mehrwertsteuer bekannt, jedoch nicht die Anteile der Mehrwertsteuer zum alten und zum neuen
Steuersatz.

Beispiel: Der Nettobetrag ist insgesamt 100,00 €, die Mehrwertsteuer insgesamt 15,38 €. Der alte Mehrwertsteuersatz ist 15% und der neue 16%.

Gleichungssystem und Lösung

Der Nettogesamtbetrag Nges teilt sich auf in den Betrag N15 zu 15% MwSt, betragsmäßig M15, und N16 zu 16%, betrags­mäßig M16. Der Mehrwertsteuerbetrag insgesamt sei Mges.

Entsprechend ist nun zu fordern

Nges

= N15 + N16

N16

= Nges - N15

I

Mges

= 0,15 N15 + 0,16 N16

II

I in II eingesetzt ergibt

Mges

= 0,15 N15 + 0,16 ( Nges - N15 )

Mges

= 0,15 N15 + 0,16 Nges - 0,16 N15

Mges

= 0,16 Nges + (0,15 - 0,16) N15

100 Mges

= 16 Nges - N15

Es ergibt sich also die bequeme Formel für den Nettobetrag zu 15% als

N15 = 16 Nges - 100 Mges

* Falls die Mehrwertsteuer sich um genau 1% ändert, ist diese Formel tatsächlich allgemeingültig, weil sich aus dem Term

(0,15 - 0,16) * N15 für jede Änderung um 1% auch 1 ergibt.

Berechnungsformular

Die Ausrechnung aller Einzelbeträge ist recht mühsam. Daher steht nachfolgend ein dafür geeignetes Berechnungsformular zur Verfügung. Die Berechnung wird durch Klick auf das Feld Brutto gesamt ausgelöst.

 

Netto

MwSt

Brutto

15%

16%

 Gesamt 

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