Wolfgang Jakobi - Die Euler'sche Zahl e


Einleitung

Es ist schon eine gute Weile her, da ich mich mit Annuitätendarlehen und den damit verbundenen Berechnungen zuletzt beschäftigt habe. Dieses "zuletzt" mag durchaus wörtlich genommen werden, denn eine erste Fassung der vor gut 15 Jahren in meiner Webseite veröffentlichten Abhandlung zu diesem Thema befindet sich im Berichtsheft von 1971 aus meiner Lehrzeit als "Kaufmann in der Grundstücks- und Wohnungswirtschaft", heute "Immobilienkaufmann" genannt.

Zur Berechnung von Darlehenslaufzeiten habe ich dort als Basis zur Logarithmierung der Gleichungen die Zahl e verwendet, auf die ich in diesem Artikel einmal näher eingehen möchte. Anders als die Zahl π, mit der auf anschauliche Weise das Verhältnis des Kreisdurchmessers zum Umfang dieses Kreises verbunden werden kann, entzieht sich diese Zahl zunächst einmal dem Vorstellungsvermögen. Dem Abzuhelfen ist das Anliegen meiner nachfolgenden Ausführungen, mit denen ich mich nach Kräften bemühen will, die dafür notwendigen mathematischen Grundlagen jeweils an der Stelle in Erinnerung zu rufen, an der sie angewandt werden sollen.

Die Herkunft der Zahl e

In den ersten fünfzehn Jahren meiner Berufstätigkeit habe ich es noch für selbstverständlich genommen, daß der Darlehensnehmer zwar monatlich eine vereinbarte Rate zahlte, der darin enthaltene Tilgungsanteil aber erst am Ende des jeweiligen Jahres gutgeschrieben wurde. Das vereinfachte sämtliche Berechnungen zu Annuitätendarlehen ganz erheblich und ich hätte es mir während meiner Lehrzeit gar nicht vorstellen können, wie man denn wohl sonst diese ganzen komplexen Berechnungen hätte durchführen wollen. Mir war zwar schon klar, daß diese sehr späte Tilgungsgutschrift am Jahresende letztlich einen zusätzlichen Zinsgewinn für die darlehensgebende Bank bedeutete, habe diesen aber der damals allgemein vorherrschenden Ansicht entsprechend für einen sich auf den einzelnen Darlehensnehmer kaum auswirkenden Nachteil gehalten. Nicht bekannt war mir also, daß sich schon vor vierhundert Jahren der Mathematiker Jakob Bernoulli und möglicherweise auch ein venezianischer Bänker mit dem Ausmaß dieses nur scheinbar geringen Zinsgewinnes durchaus beschäftigt haben. So gering ist, wie hier auszuführen sein wird, der Nachteil, der dem Darlehensnehmer durch diese späte Tilgungsgutschrift entsteht, nämlich keineswegs. Darauf gekommen ist man trotz dieser schon vor Jahrhunderten geleisteten Vorarbeit erst sehr spät, nämlich Ende der Achtzigerjahre, als der Bundesgerichtshof die Sparkasse verurteilte, einem ihrer Darlehensnehmer nicht nur die unberechtigt vereinnahmten Zinsen zurückzuzahlen, sondern diesen Rückzahlungsbetrag auch selbst zu berechnen, weil dies der Darlehensnehmer nicht zu bewerkstelligen vermochte. Auf der Grundlage dieses Urteils erging ein weiteres Urteil des Bundesgerichtshofes zu Darlehensverträgen, mit denen ich dann schließlich Anfang der Neunzigerjahre beschäftigt wurde. Die darlehensgebende Bank hatte nach zwei Jahren immer noch nicht zurückgezahlt, weil sie aus Gründen, die ich in meiner Seite über Annuitätendarlehen ausführlich behandelt habe, ihrer Verpflichtung, den Rückzahlungsbetrag zu berechnen, so einfach gar nicht nachkommen konnte: Die Darlehensvereinbarung sah nämlich vor, daß die Quartalsrate zur Quartalsmitte fällig war. Diese ganz und gar ungewöhnliche Vereinbarung war es, die mich seinerzeit dazu bewogen hat, auch zu mittschüssigen Fälligkeiten das nötige Formelwerk herzuleiten.

Nun entspricht es bei einem ratenweise zu tilgenden Darlehen noch dem allgemeinen Rechtsempfinden, daß der Darlehensnehmer auf einen bereits getilgten Betrag nicht noch weiter Zinsen zahlen soll. Weniger verständlich wird es schon, wenn ein Geldanleger, der einen Geldbetrag zu 100% Verzinsung auf ein Jahr anlegt, nicht zufrieden ist, daß er "nur" das Doppelte des angelegten Betrages zurückerhält. Der Zins auf sein Anlagekapital wird ihm nämlich auch erst am Jahresende gutgeschrieben und ausgezahlt. Ähnlich wie der Tilgungsschuldner könnte der Anleger nun verlangen, daß ihm die Zinsen beispielsweise schon monatlich gutgeschrieben werden, was dann seinen zu verzinsenden Anlagebetrag erhöhen würde, er also Zinseszinsen erhielte. Damit nicht genug, könnte er ebenso verlangen, daß ihm der Zins bereits wöchentlich, täglich, stündlich und wohl gar jede Minute oder jede Sekunde gutgeschrieben wird. Der Unterschied des zurückzuzahlenden Betrages ist durchaus merklich. Das Kapitalwachstum bestimmt sich, wie aus der Zinseszinsrechnung bekannt, nach der Formel Kn = K0 · qn. Wie bei den Annuitätendarlehen schon gezeigt, ist q hierbei 1 + p / (100·r), wobei p der Jahreszinssatz in % ist und r die Anzahl der Zinsgutschriften, die in einem Jahr erfolgen sollen, um die der Exponent von q erweitert werden muß. Da hier nur ein Jahresabschnitt verfolgt werden soll, ist der Exponent also (n · r) = (1 · r) = r. Alsdann ergibt sich für einen Zinssatz von 100% als Rückzahlungsbetrag K100 und mit dem Anlagekapital K0 = 1:

Zeitraum

n

q

Rückzahlung

Monatlich

12

1,08333333333333

2,61303529022468

Täglich

365

1,00273972602739

2,71456748202201

Stündlich

8760

1,00011415525114

2,71812669161742

Jede Minute

525600

1,00000190258752

2,71827924258871

Jede Sekunde

31536000

1,00000003170979

2,71828178130246

Diese Tabelle zeigt nun zunächst ganz offensichtlich, daß schon dann, wenn die Zinsgutschrift monatlich erfolgt, das Anlagekapital in einem Jahr keineswegs nur verdoppelt, sondern schon mehr als verzweieinhalbfacht würde. Bei noch häufigeren Zinsgutschriften allerdings nimmt das Kapitalwachstum merklich ab, wie man es an den jeweils unterstrichenen Nachkommastellen ablesen kann. Wider Erwarten wird der Geldanleger nur noch bei sehr, sehr großen Geldanlagen etwas davon haben, daß er sich den Zins in Zehntel-, Hundertstel-, Mikro- oder Nanosekunden gutschreiben lässt. Es sieht ganz so aus, als liefe das Kapitalwachstum auf eine Zahl

e = 2,71828...

hinaus, denn genau diese Zahl e haben wir jetzt mit verhältnismäßig einfacher Rechnung auf immerhin schon fünf Stellen genau errechnet. Überlegen wir nun, was geschehen wird, wenn der Geldanleger das Kapital ein zweites, drittes, ..., n-tes Jahr stehen läßt.

Um es gleich vorwegzunehmen und einem Irrtum vorzubeugen: Der nach einem Jahr deutlich mehr als doppelte Rückzahlungsbetrag ist eine Auswirkung des Zinseszinses, der exponentiell und nicht etwa linear anwächst. Nach zwei Jahren ist der Rückzahlungsbetrag also keineswegs nur das (2 Jahre · 2,71828...) = 5,43656...-fache. Vielmehr müssen wir unsere bisher nur auf einen Jahreszeitraum beschränkte Teilung in immer kleiner werdende Zeitabschnitte oder Intervalle bis zur nächsten Zinsgutschrift nun auf mehrere Jahre aufweiten.

Aus der gebräuchlichen Zinseszinsformel Kn = K0 · qn ergab sich die zur vorstehenden Tabelle führende Formel K100 = K0 · [1 + p / (100 · r)]1 · r, worin, da ja nur das Vielfache von K0 und kein konkreter Anlagebetrag berechnet werden sollte, K0 = 1 gesetzt werden durfte und der Ausdruck p / 100, da ja ein jährlicher Zinssatz von 100% gegeben ist, konnte ebenfalls = 1 gesetzt werden. Den Exponenten n aus der einfachen Zinseszinsformel, mit dem die Anzahl der Jahre des Anlagezeitraums ausgedrückt wird, haben wir aber ebenfalls unterschlagen und = 1 gesetzt, weil ja bisher nur ein Jahreszeitraum betrachtet wurde. Damit vereinfachte sich die Formel zu K100 = (1 + 1 / r)r. Betrachtet man nun aber mehr als einen Jahreszeitraum, muß die Anzahl der Jahre n wieder berücksichtigt werden und es ist nun

Kn = (1 + 1 / r)(n · r) (1)

Vergleicht man diese Formel mit

K100 = (1 + 1 / r)r (2)

also derjenigen, die für den Jahreszeitraum verwendet wurde, wird ersichtlich, daß man den Ausdruck (1 + 1 / r)r in Gleichung (1) durch K100 ersetzen oder substituieren darf. Alsdann wird

Kn = K100n (3)

oder, da wir K100 schon als die Zahl e erkannt und annähernd berechnet haben, ist schließlich

Kn = en (4)

Nun beruhten alle bisherigen Überlegungen zum Kapitalwachstum auf dem Zinssatz von 100% jährlich, weshalb dieser in der Basis q gleich 1 gesetzt werden durfte. Bei einem weniger wucherischen Zinssatz von z.B. p = 5% hätte indessen, wobei wir ab jetzt wieder nur einen Jahreszeitraum betrachten und damit n = 1 ist, gesetzt werden müssen:

K005 = (1 + 5 / (100 · r)r = (1 + 0,05 / r)r

Damit ist aber die Basis, die sich als die Zahl e entpuppte, verändert worden und die jetzt entstandene Gleichung sieht zunächst nicht so aus, als ließe sie sich wieder auf die Zahl e zurückführen. Um dies zu bewerkstelligen, müssen wir uns erst ein bißchen mit den Potenzgesetzen beschäftigen.

Gesetzmäßigkeiten bei Potenzen

Es ist bekanntlich am · an = a(m + n). Daraus folgt, daß am / an = a(m - n) sein muß. Ist nun m = n, so ist am = an und mit dem Bruch am / an werden zwei gleich große Zahlen dividiert, was stets zum Ergebnis 1 führt. Dieser Bruch mit dem Wert 1 aber ist in Potenzschreibweise a(m - n) und führt daher wegen m = n zu a0. Eine Zahl mit Null potenziert ergibt also stets 1. Denkt man sich hingegen m = 0 und n > 0, so wird der Ausdruck a(m - n) = a(0 - n) oder schließlich a-n = 1 / an. Betrachten wir noch den Fall m = 1 + n, der für n = 0 im Ausdruck am / an zu a(m - n) / a0 = a1 / a0 = a1 / a0 = a1 / 1 = a0 = a1 führt. Ist m eine ganze Zahl > 1, so erhält man den Wert der Potenz stets dadurch, daß man die Basis a (m - 1) Mal mit sich selbst multipliziert. Daraus folgt für m = 1, daß die Basis a überhaupt nicht mit sich selbst multipliziert, die Potenz a1 also den Wert der Basis selbst hat.

Verlassen wir - noch mit einigem Zögern - die Strichrechnungen im Exponenten und überlegen uns, was ein Ausdruck wie a½ · a½ dann wohl bedeuten könnte. Das Ergebnis ist wegen ½ + ½ = 1 die Potenz a1, also die Basis a. Anscheinend drückt dieses ½ irgendeine Rechenoperation aus, die mit der Basis zwei Mal durchgeführt wird, ehe das offenbar gleichlautende Ergebnis dieser beiden Operationen multipliziert wird. Die gesuchte Rechenoperation, die durch ½ im Exponenten ausgedrückt wird, muß also eine sein, deren Ergebnis mit sich selbst multipliziert eben gerade die Basis selbst ergibt und das kann nur √a sein, weil nur √a · √a diese Voraussetzungen erfüllt.

Setzen wir unsere Überlegungen zur Punktrechnung im Exponenten fort und schreiben wir einmal statt a(½ + ½), wie wir es sonst ja auch bedenkenlos tun, in den Exponenten nicht ½ + ½, sondern 2 · ½, also a2 · ½. Spiegelt man diese Umformung im Exponenten auf die Basis, so wird daraus, da das Pluszeichen im Exponenten entfallen ist, (√a)2, was ebenfalls wieder = a ist. Die Multiplikation von Exponenten bedeutet also nichts anderes als das mehrfache Potenzieren der Basis; denn ersetzt man die konkreten Werte 2 und ½ durch die Variablen m und n, schreibt also am · n, so wird dies auf der Ebene der Basis zu (am)n.

Kehren wir eingedenk dieser Gesetzmäßigkeiten zu unserer Fragestellung zurück, wie sich die Gleichung

K005 = (1 + 0,05 / r)r

in der wir künftig wieder statt einer konkreten Zahl die Variable p setzen wollen, also

Kp = (1 + p / r)r

auf die Basis e zurückführen können.

Unendlich kleine und große Zahlen

Die Ratenzahl r haben wir bis zu einer beachtlichen Größe erhöht, aber nun erhöhen wir sie auf eine Anzahl, die jedes Vorstellungsvermögen übersteigt, nämlich + unendlich oder ∞. Betrachten wir zunächst einmal, was dann mit einer Potenz geschieht.

a0 ist 1, aber wenn man statt null eine unendlich kleine Zahl x in den Exponenten setzt, so wird ax = 1 + y, wobei auch y eine unendlich kleine Zahl sein wird, die noch von der Basis a abhängt. Diese Abhängigkeit drücken wir jetzt durch Einführung der Konstanten k aus und setzen für y = k · x. Potenzieren wir nun beide Seiten der Gleichung ax = 1 + k · x mit der unendlich großen Zahl r, so wird daraus ar · x = (1 + k · x)r. Nun stören allerdings auf der linken Seite der Gleichung die unendlich große r und unendlich kleine Zahl x, weil damit nicht gerechnet werden kann. Ersetzen oder substituieren wir also die Zahl x durch den Bruch p / r, in dem p eine endliche Zahl ist, der aber wegen des unendlich großen Nenners eine unendlich kleine Zahl ergibt. Daraus wird nun also ar · p / r = (1 + k · p / r)r und somit ap = (1 + k · p / r)r.

Nun ist die Basis a bisher ja durch nichts festgelegt, also kann sie auch so gewählt werden, daß k = 1 ist und damit verschwindet:

ap = (1 + p / r)r

Eine nunmehr allerdings bestimmte Basis a, die mit einer beliebigen Zahl p, für die also auch unser Zinssatz stehen könnte, potenziert wird, ergibt somit genau den Ausdruck (1 + p / r)r, der auf die Zahl e zurückgeführt werden soll. Diese Erkenntnis hilft noch nicht viel weiter, da die Basis a noch unbekannt ist. Die ist nun aber endgültig durch die rechte Seite der Gleichung bestimmt und dazu müssen wir den allgemeinen Ausdruck (a + b)n umformen können.

Der binomische Lehrsatz und die Entwicklung unendlicher Reihen

Es ist bekanntlich (a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2. Das kann man noch ohne große Mühe ausmultiplizieren, aber mit größer werdendem Exponenten wird dies immer aufwändiger. Glücklicherweise folgen die Koeffizienten und Exponenten der einzelnen Summanden relativ einfachen und leicht durchschaubaren Regeln, wie das Beispiel (a + b)5 zeigen mag.

Glied 0

Glied 1

Glied 2

Glied 3

Glied 4

Glied 5

a5·b0

+

5·a4·b1

+

10·a3·b2

+

10·a2·b3

+

5·a1·b4

+

a0·b5

1 / 1

n / 1!

n (n - 1) / 2!

n (n - 1)(n - 2) / 3!

n (n - 1)(n - 2)(n - 3) / 4!

n (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4) / 5!

Daran sieht man zunächst einmal, daß der Exponent von a absteigt, der von b hingegen aufsteigt und sich die Exponenten von a und b stets zu 5 summieren. Ferner ist die Symmetrie der Multiplikatoren oder Binominalkoeffizienten der einzelnen Glieder kaum zu übersehen. Zur Bestimmung dieser Koeffizienten wird oft das Pascal'sche Dreieck angeboten, aber das nutzt hier nichts, weil wir es zur Lösung unserer Aufgabe ins Unendliche fortschreiben müssten. Das läßt sich mit den auf dem Exponenten n beruhenden Brüchen in der dritten Zeile zur Berechnung der Binominalkoeffizienten zwar auch nicht machen, aber zumindest gelingt es damit, diese Koeffizienten allgemein auszudrücken.

Damit kann nun die Gleichung ap = (1 + p / r)r entwickelt werden zu

ap = 1 + 1·p / 1! + 1(r - 1)·p2 / 1·2·r + 1(r - 1)(r - 2)·p3 / 1·2·r·3·r + 1(r - 1)(r - 2)(r - 3)·p4 / 1·2·r·3·r·4·r ...

Da r eine unendlich große Zahl ist, hat auch diese Reihe unendlich viele Glieder. Allerdings können wir jetzt wenigstens eine Aussage treffen, was mit diesen Gliedern geschieht, wenn r ins Unendliche läuft. Das 3. Glied, in dem erstmals die unendliche Zahl r auftaucht, wird nämlich

1(r - 1)·p2 / 1·2·r = (r - 1) / r · 1·p2 / 1·2

Im Bruch (r - 1) / r ist der Zähler um 1 kleiner als unendlich, bleibt also unendlich und damit ist der Wert des Bruches gleich 1. Führt man diese Operation in allen Gliedern ab dem 3. Glied durch, so verbleibt ab dem 4. Glied (r - 2)·p3 / 1·2·3·r. Zieht man nun hier in gleicher Weise (r - 2) / r ·p3 / 1·2·3· heraus, so wird für den Bruch (r - 2) / r keine andere Überlegung gelten, also vorher schon für (r - 1) / r, auch (r - 2) / r ist also gleich 1. Setzt man dieses Verfahren, (r - n) / r herauszuziehen und gleich 1 zu setzen, durchgängig fort, so verbleibt die weiterhin unendliche Reihe

ap = 1 + 1·p / 1! + 1·p2 / 1·2 + 1·p3 / 1·2·3 + 1·p4 / 1·2·3·4 ...

lim r -> +∞

Zunächst scheint nun auch diese Gleichung nicht zur Lösung unserer eigentlichen Aufgabe geeignet, da ja immer noch unendlich viele Glieder dieser Reihe zu berechnen sind. Um dieses letzte Problem zu beheben, müssen wir uns mit der Frage beschäftigen, in welchem Verhältnis die Werte zweier aufeinander folgender Glieder zueinander stehen.

Konvergenz unendlicher Reihen

Versucht man 10 durch 3 auf dem Papier zu dividieren, so wird man niemals ein ganz genaues Ergebnis erhalten, weil immer ein Teilerrest von 1 verbleibt. In solchen Fällen bricht man die Division ab, sobald man eine für die weitere Rechnung ausreichende Anzahl Nachkommastellen ermittelt hat. Man kann also zwar kein ganz genaues, aber ein beliebig genaues Ergebnis errechnen; denn mit jedem Divisionsschritt wird die Ungenauigkeit um eine Zehnerpotenz kleiner.

Wenn es sich bei der nun entwickelten unendlichen Reihe genauso verhält, der Wert eines Gliedes also stets kleiner als der des vorherigen Gliedes ist, dann wird es auch hier gelingen, ein beliebig genaues Ergebnis zu errechnen. Betrachtet man zunächst nur Zinssätze, die kleiner oder höchstens gleich 100% sind, so wird sofort offenbar, daß der Wert der Potenz im Falle p = 100% oder 1 unverändert bleibt, hingegen die Fakultäten im Nenner jedoch immer größer werden, also der Wert des Bruches pr / r! ab dem 2. Glied von Glied zu Glied abnimmt. Mit wachsender Anzahl der Glieder wird die Summe der Glieder folglich immer weniger anwachsen, also auch für r -> +∞ einen bestimmten Wert, den Grenzwert lim r -> +∞, nicht überschreiten. Die Reihe nähert sich oder konvergiert gegen diesen Wert, der wegen der unendlich großen Anzahl der Glieder zwar niemals ganz genau, aber eben doch beliebig genau berechnet werden kann. Welche Nachkommastellen dieses Grenzwertes bereits zuverlässig sind, kann man an der Größe des letzten berechneten Gliedes erkennen. Verändert die Addition dieses Gliedes eine bestimmte Nachkommastelle nicht mehr, so wird dies auch durch Addition aller nach wie vor unendlich vielen nachfolgenden Glieder nicht mehr geschehen. So ergibt beispielsweise für den oben schon angesetzten Zinssatz von 5%, also p = 0,05, die folgende Reihe.

Glied 0

Glied 1

Glied 2

Glied 3

Glied 4

Glied 5

Glied 6

Glied 7

Summe

1

p/1!

p2/2!

p3/3!

p4/4!

p5/5!

p6/6!

p7/7!

-

1

0,05000

-

-

-

-

-

-

1,05000000000000

1

0,05000

0,00125

-

-

-

-

-

1,05125000000000

1

0,05000

0,00125

0,00002083333333

-

-

-

-

1,05127083333333

1

0,05000

0,00125

0,00002083333333

0,00000026041666

-

-

-

1,05127109375000

1

0,05000

0,00125

0,00002083333333

0,00000026041666

0,00000000260416

-

-

1,05127109635417

1

0,05000

0,00125

0,00002083333333

0,00000026041666

0,00000000260416

0,00000000002170

-

1,05127109637587

1

0,05000

0,00125

0,00002083333333

0,00000026041666

0,00000000260416

0,00000000002170

0,00000000000015

1,05127109637602

Ohne die Basis a überhaupt schon zu kennen, ist damit bekannt, daß sie, mit p = 0,05 potenziert, den auf 12 Nachkommastellen genauen Wert 1,051271096376 haben wird. Diese Basis a, entstanden, weil der Wert k = 1 gesetzt wurde, läßt sich nun leicht mit der gleichen Reihe bestimmen, wenn beachtet wird, daß a1 eben die Basis a liefert, also p = 1 gesetzt werden muß. Dann wird daraus die unendliche Reihe

a = 1 + 1 / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! + 1 / 4! + 1 / 5! + 1 / 6! + 1 / 7! ...

lim r -> +∞

Diese unendliche Reihe konvergiert, da der Zähler unverändert 1 bleibt, der Nenner aber ebenso wie bei der Reihe für p = 0,05 stetig anwächst und der Grenzwert ist, wie jeder leicht selbst ausrechnen kann, die Zahl e. Damit sind wir endlich am Ziel und haben unsere Aufgabe gelöst; Die Darlehensrückzahlung bei p < 100% kann auf die gleiche Basis e wie bei p = 100% zurückgeführt werden und es ist allgemein Kn = ep.

Zusammenfassung

Wird ein Darlehen zu p = 100% Jahreszins für ein Jahr herausgereicht und erhöht man die Anzahl r der Zinsgutschriften im Verlauf dieses Jahres ins Unendliche, so wird die Darlehensrückzahlung auf den Grenzwert der unendlichen Reihe

K100 = e = 1 + 1 / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! + 1 / 4! + 1 / 5! + 1 / 6! + 1 / 7! ...

hinauslaufen. Vermindert man den Zinssatz p auf einen beliebigen Wert größer als null, ist also 0 > p < 1, so ist die Darlehensrückzahlung

Kp = K100p = ep

Es ist der Grenzwert der unendlichen Reihe

Kp = ep = 1 + p / 1! + p2 / 2! + p3 / 3! + p4 / 4! + p5 / 5! + p6 / 6! + p7 / 7! ...

Es mag nun noch von Interesse sein, ob die Gleichung Kp = lim r -> +∞ (1 + p/r)r auch für p > 1 gilt. Das ist jedenfalls dann so, wenn wenigstens nach einigen Gliedern der Reihe ein Glied stets kleiner als das vorherige ist, also pn + 1 / (n + 1)! / pn / n! < 1 ist. Nach dieser Quotientenregel ergibt sich pn + 1 / (n + 1)! · n! / pn = p / n + 1. Für p < +∞ und n -> +∞ wird der Nenner dieses Bruches irgendwann einmal größer als der Zähler und ab dann stetig einen Wert kleiner 1 annehmen. Die Reihe ist also konvergent, die Gleichung gilt also auch für endliche Zinssätze über 100%.

Da gleich zu Beginn der Überlegungen der Wert k = 1 und damit die bis dahin noch unbekannte Basis a festgelegt wurde, ist bisher nicht weiter verfolgt worden, zu welchem Ergebnis ein Wert k ≠ 1 geführt hätte. Der sehr bedeutsame Zusammenhang zwischen der Basis und dem Wert k ≠ 1 ist Gegenstand der nachfolgenden Ausführungen.

Logarithmen

Heute, da ein einfacher Taschenrechner beim Discounter auf dem Wühltisch für nicht einmal einen Euro zu haben ist, wird nur noch schwer verständlich sein, welche Erleichterung der Rechenarbeit die Logarithmentafel gebracht haben soll. Als ich in den Sechzigerjahren in der Schule das Rechnen mit Logarithmentafeln noch lernen und anwenden mußte, habe ich diesen Vorteil, ehrlich gesagt, selbst nie eingesehen. Weil nach den Potenzgesetzen am · an = a(m + n) ist, läßt sich die Multiplikation zweier Zahlen durch die zweifellos einfachere Addition erledigen. Da wir im Dezimalsystem rechnen und damit stets a = 10 setzen könnten, wäre eine sinnvolle Basis schnell gefunden, aber wieviel ist dann 3 · 5, errechnet aus der Potenz 10(m + n)? Man mußte dazu die Exponenten m und n, nunmehr Logarithmen genannt, aus der Tafel heraussuchen, das waren die Zahlen 0,4771 und 0,6990, diese addieren, was 1,1761 ergab und nun umgekehrt in der Tafel einen Logarithmus suchen, der möglichst nahe beim Wert 0,1761 lag. Bei diesen kleinen Zahlen findet man ganz genau diesen Wert und damit eine korrespondierende Zahl für a(m + n), nämlich 1,50, die Numerus genannt wird. Da sich bei der Addition eine Eins vor dem Komma ergab, mußte man diese gefundene Zahl noch mit 10 multiplizieren, um zu dem trivialen Ergebnis 15 zu kommen. Die Logarithmentafel erleichterte das Rechnen in diesem Falle nun ganz gewiß nicht. Nahm man eine etwas kompliziertere Multiplikation, etwa 3,2 · 5,7, was zur Addition der Logarithmen 0,5051 und 0,7559 führte, so war das Ergebnis 1,2610, also der Logarithmus 0,2610, der in der Tafel nicht zu finden war, nur die Logarithmen 0,2601 für den Numerus 1,82 und 0,2625 für den Numerus 1,83. Wiederum wegen der Eins vor dem Komma der Summe der beiden Logarithmen ergab sich also ein Resultat zwischen 18,2 und 18,3. Nicht nur, daß man durch Multiplikation auf dem Papier auch bei diesen Zahlen einfacher zu einem Ergebnis gekommen wäre, hätte man außerdem wenigstens noch das richtige Ergebis 18,24 erhalten und sich nicht mit der sich aus der Tafel ergebenden Ungenauigkeit, größer 18,2 aber kleiner 18,3, begnügen müssen. Wozu also dieser ganze Aufwand, zumal doch auch irgendwer irgendwie die Logarithmen erst einmal ausgerechnet und tabelliert haben mußte?

Wie diese Beispiele zeigen, ist die Logarithmenrechnung tatsächlich erst bei Punktrechnungen mit Zahlen mit sehr vielen signifikanten Ziffern und dann von Vorteil, wenn auf die Genauigkeit des Ergebnisses ein minder hoher Anspruch erhoben wird. Das war insbesondere beim Rechnen mit den Logarithmen der trigonometrischen Funktionswerte, die ebenfalls vertafelt waren, der Fall. Die Idee, Punktrechnungen durch Logarithmen zu vereinfachen, geht ebenso wie die Bezeichnung "Logarithmus" - das Wort könnte so ungefähr mit "Verhältniszahl" übersetzt werden - auf John Napier (1550-1617) zurück, die Verwendung der Zahl 10 als Logarithmenbasis auf Henry Briggs (1561-1630), der mit Napier in persönlichem Kontakt stand. Briggs berechnete mit einer von ihm entwickelten Methode eine enorme Anzahl von Logarithmen auf 14 Stellen.

Einen weiteren Vorteil gegenüber der Potenzdarstellung hat die Logarithmenrechnung dann, wenn in einer Potenz Unbekannte bzw. Variable im Exponenten vorkommen. Zunächst einmal bietet die Logarithmenrechnung klare Bezeichner für Basis und Exponent in einem Ausdruck, es ist nun nämlich der Numerus n gleich dem Logarithmus n zur Basis a und man schreibt n = aloga n. Zwei Ausnahmen von dieser Schreibweise sind gebräuchlich: Statt log10 x schreibt man kurz log, oder, um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, lg, läßt also den Hinweis auf die Basis ganz weg, und statt loge x schreibt man ln x, also logaritmus naturalis oder natürlicher Logarithmus von x. Es wird später noch ersichtlich, weshalb dieser Begriff gewählt wurde. Ist nun also die Konstante b = ax, so läßt sich diese Gleichung nunmehr, weil b = aloga b ist, in der Potenzschreibweise zu aloga b = ax umformen. Da Logarithmen aber letztlich nichts anderes als Verhältniszahlen bezüglich ihrer Basis sind, ist es eine äquivalente Umformung, die gemeinsame Basis a nun wieder wegzulassen, womit die Gleichung dann x = loga b lautet. Obwohl es völlig gleichgültig ist, welche Basis a man für diese Logarithmierung der Gleichung gewählt hat, wird man sich wohl für die dekadischen Logarithmen, die also auf der Basis 10 beruhen, oder für die natürlichen Logarithmen entscheiden, weil diese beiden Logarithmen für die Konstante b unmittelbar, ob durch die Logarithmentafel oder den Taschenrechner, zur Verfügung stehen.

Nachdem diese Gesetzmäßigkeiten aus der Potenz- und Logarithmenrechnung wieder in Erinnerung gerufen sind, können wir uns wieder unserer ursprünglichen Aufgabe zuwenden, wollen aber vorher noch sehen, wie seinerzeit völlig ohne technische Hilfsmittel Logarithmentafeln berechnet wurden.

Briggs'sche Berechnung von Logarithmen

Die Methode von Briggs zur Berechnung von Logarithmen beschrieb Leonhard Euler gut 130 Jahre später in seinem Werk "Introductio in analysin infinitorum" in § 106 wie folgt. Setzt man für log y = z und für log v = x, so wird log (v · y) = (x + z) und, weil a1/2 = √a ist, log √v · y = (x + z) / 2. Weiß man nun, daß eine gegebene Zahl b zwischen a2 und a3 liegt, also einen Logarithmus zwischen 2 und 3 haben muß, so nähert man sich diesem Logarithmus durch Halbierung der Differenz und berechnet den Wert für a, das ist a2 + ½ oder schließlich a2 · √a. Nun liegt b entweder innerhalb der unteren Grenzen a2 und a2 · √a, oder der oberen Grenzen a2 · √a und a3. Gleichgültig, wo dieser Wert liegt, kann man nun wieder die Differenz zwischen den beiden Grenzen halbieren und so immer engere Grenzen für den eigentlich gesuchten Logarithmus der Zahl b bestimmen, bis man sich schließlich hinreichend genau angenähert hat.

Euler läßt dieser Erklärung ein Beispiel folgen, mit dem der dekadische, also auf der Basis a = 10 beruhende Logarithmus von 5 berechnet wird. Weil 100 = 1 und 101 = 10 ist, muß der Logarithmus von 5 zwischen diesen Werten 0 und 1 liegen. Da die Differenz wie in der einleitenden Erklärung 1 ist, kann man ganz analog verfahren und den Wert für die "mittlere Proportionalzahl", wie Euler sie nannte, also zum gegebenen Logarithmus 0 + ½ berechnen, das ist ganz einfach die √1 · 10 = 3,162278. Da diese Zahl kleiner als der gesuchte Numerus 5 ist, wird sie die neue untere Grenze für den nächsten Annäherungs- oder Iterationsschritt, mit dem erneut die Quadratwurzel √v · y = √3,162278 · 10 = 5,623414 gezogen wird, wobei wir aber unabhängig davon schon wissen, daß der Logarithmus dieses Numerus (x + z) / 2 = (1 + 0,5) /2 = 0,75 sein muß.

Das Ergebnis 5,623414 ist nun wieder, da der Logarithmus für den Numerus 5 gesucht wird, zu groß und damit die obere Grenze für den nächsten Iterationsschritt, mit dem nun also die Quadratwurzel √v · y = √3,162278 · 5,623414 = 4,216966 gezogen wird. Wiederum konnten wir den Logarithmus völlig unabhängig von der Quadratwurzel aus dem Numerus berechnen, da ja dieses Mal (x + z) / 2 = (0,5 + 0,75) /2 = 0,625 ist.

Bisher ist nur der Fall aufgetreten, daß der neue Numerus abwechselnd zu groß oder zu klein war, also ein Mal zwischen a0 und a0 · √a und das nächste Mal zwischen a0 · √a und a1 lag, wobei a = 10 ist. Zieht man aber mit den nunmehr ermittelten Grenzen die Quadratwurzel √v · y = √4,216966 · 5,623414, so wird der Numerus zu 4,869676, also erneut eine untere und nicht wieder eine obere Grenze. Nun ist das aber kein wirkliches Unglück, da dieser neue Numerus ja als untere Grenze sehr viel näher an unserem gesuchten Numerus b = 5 liegt. Hier muß man also die vorherige Obergrenze 5,623414 beibehalten, darf - und muß - aber die vorherige Untergrenze durch die neue ersetzen und zieht nun also die Quadratwurzel √v · y = √4,869676 · 5,623414 = 5,232992, offenbar also wieder eine neue obere Grenze.

Es ist nun bei diesem und auch vielen anderen Annäherungs- oder Iterationsverfahren durchaus möglich, daß sogar mehrfach hintereinander eine vorherige Unter- oder Obergrenze beibehalten werden muß und nur die jeweils andere Grenze nachgezogen werden kann. Das ist auch bei der hier gestellten Aufgabe so, was in der nachfolgenden Tabelle in roter Schrift gekennzeichnet ist.

Numerus

Variable

Logarithmus

Nächster Numerus

1,000000

A

0,0000000

-

10,000000

B

1,0000000

C = √A · B

3,162278

C

0,5000000

D = √B · C

5,623414

D

0,7500000

E = √C · D

4,216966

E

0,6250000

F = √D · E

4,869676

F

0,6875000

G = √D · F

5,232992

G

0,7187500

H = √F · G

5,048067

H

0,7031250

J = √F · H

4,958069

J

0,6953125

K = √H · J

5,002865

K

0,6992188

L = √J · K

4,980416

L

0,6972657

M = √K · L

4,991627

M

0,6982423

N = √K · M

4,997242

N

0,6987306

O = √K · N

5,000052

O

0,6989747

P = √N · O

4,998647

P

0,6988527

Q = √O · P

4,999350

Q

0,6989137

R = √O · Q

4,999701

R

0,6989442

S = √O · R

4,999876

S

0,6989595

T = √O · S

4,999963

T

0,6989671

V = √O · T

5,000008

V

0,6989709

W = √T · V

4,999985

W

0,6989690

X = √V · W

4,999997

X

0,6989699

Y = √V · X

5,000003

Y

0,6989704

Z = √X · Y

5,000000

Z

0,6989701

-

Um also den dekadischen Logarithmus der Ziffer 5 auf sieben Stellen genau zu berechnen, muß mit dieser Methode 22 Mal die Quadratwurzel gezogen werden.

Die Berechnung von Logarithmen mittels Reihen

Nach diesem Exkurs in das frühe Berechnungverfahren von Logarithmen können wir die im vorletzten Kapitel angeschnittene Überlegung für einen Wert von k ≠ 1 fortsetzen und dabei eine wesentlich bequemere Methode zur Berechnung von Logarithmen entwickeln.

In der gefundenen Reihe

Kp 1 + p / 1! + p2 / 2! + p3 / 3! + p4 / 4! + p5 / 5! + p6 / 6! + p7 / 7! ...

war k = 1 gesetzt. Diese Variable wieder eingesetzt ergibt

Kp = 1 + k·p / 1! + k2·p2 / 2! + k3·p3 / 3! + k4·p4 / 4! + k5·p5 / 5! + k6·p6 / 6! + k7·p7 / 7! ...

Setzt man nun erneut p = 1, so ergibt sich die direkte Beziehung zwischen K und k durch die Reihe

K = 1 + k / 1! + k2 / 2! + k3 / 3! + k4 / 4! + k5 / 5! + k6 / 6! + k7 / 7! ...

Ist nun b = an, so ist loga b = n und ferner bp = an·p. Für bp ergibt sich dann die unendliche Reihe

bp = 1 + k·n·p / 1 + k2·n2·p2 / 1·2 + k3·n3·p3 / 1·2·3 + k4·n4·p4 / 1·2·3·4 + ...

Setzt man für n = loga b, ergibt sich die Reihe

bp = 1 + k·p / 1 ·loga b + k2·p2 / 1·2 ·(loga b)2 + k3·p3 / 1·2·3 ·(loga b)3 + k4·p4 / 1·2·3·4 ·(loga b)4 + ...

Da sich also jede beliebige Potenz ap in eine unendliche Reihe entwickeln läßt, mag nun gezeigt werden, daß dies ebenso Logarithmen gilt.

Es ist, wie schon gezeigt, ax = 1 + k·y und x = loga(1 + k·y) und i·x = loga(1 + k·y)i. Setzt man nunmehr (1 + k·y)i = 1 + z, so ist 1 + k·y = (1 + z)1 / i und folglich k·y = (1 + z)1 / i - 1, woraus weiter folgt, daß i·y = i / k · [(1 + z)1 / i - 1] ist und schließlich, weil i·y = loga(1 + z) ist, wird loga(1 + z) = i / k · [(1 + z)1 / i - 1]. Weil i eine unendlich große Zahl ist, ergibt sich für den Teilausdruck (1 + z)1 / i, wie schon ähnlich gezeigt, die unendliche Reihe

(1 + z)1 / i = 1 + 1 / i ·z - 1(i - 1) / (i·2·i) ·z2 + 1(i - 1)(2·i -1) / (i·2·i·3·i) ·z3 - 1(i - 1)(2·i -1)(3·i -1) / (i·2·i·3·i·4·i) ·z4 + ...

Wegen i -> +∞ ergibt sich für die Teilbrüche (i - 1) / 2·i = 1/2; (2·i - 1) / 3·i = 2/3; (3·i - 1) / 4·i = 3/4; ..., und nach dieser ersten Grenzwertbildung

i(1 + z)1/i = i + z / 1 - z2 / 2 + z3 / 3 - z4 / 4 + ..., also schließlich

loga (1 + z) = 1 / k [z / 1 - z2 / 2 + z3 / 3 - z4 / 4 + ...]

Aus dieser Reihe für den Logarithmus von a läßt sich nun eine Reihe für den Wert k zu einer bestimmten Basis a bilden, indem 1 + z = a gesetzt wird. Weil loga a = 1 ist, wird dann

1 = 1 / k [(a - 1) / 1 - (a - 1)2 / 2 + (a - 1)3 / 3 - (a - 1)4 / 4 + ...], also

k = (a - 1) / 1 - (a - 1)2 / 2 + (a - 1)3 / 3 - (a - 1)4 / 4 + ...

Da sich der Wert der Glieder dieser unendlichen Reihe fortschreitend erhöht, läßt sich nicht erkennen, ob und gegen welchen Grenzwert sie konvergiert. Setzt man nun aber in der gefundenen Reihe für den Logarithmus z negativ, so daß sich also

loga (1 - z) = - 1 / k [z / 1 + z2 / 2 + z3 / 3 + z4 / 4 + ...]

ergibt, und subtrahiert man diese Reihe von der für den Logarithmus, so wird

loga (1 + z) - loga (1 - z) = loga [(1 + z) / (1 - z)] = 2 / k [z / 1 + z3 / 3 + z5 / 5 + z7 / 7 + ...]

Setzt man nun für diese neue Reihe (1 + z) / (1 - z) = a, dann ist z = (a - 1) / (a + 1) und, weil wiederum loga a = 1 ist, ergibt sich jetzt die Reihe

k = 2 [(a - 1) / (a + 1) + (a - 1)3 / 3 (a + 1)3 + (a - 1)5 / 5 (a + 1)5 + (a - 1)7 / 7 (a + 1)7 + ...]

und diese unendliche Reihe konvergiert zumindest für jedes a kleiner +∞ weil der Nenner des Bruches in allen Gliedern größer als der Zähler ist.

Damit steht nun das vollständige Instrumentarium zur Berechnung von Logarithmen zu jeder beliebigen Basis a zur Verfügung. Für die Basis e der natürlichen Logarithmen ist der Wert k = 1. Mit einer genügend genau berechneten Basis e, wofür ja die unendliche Reihe e = (1 + 1/n)n bekannt ist, läßt sich für jede Zahl z größer als -1 der natürliche Logarithmus unmittelbar aus der Reihe für den Logarithmus beliebig genau berechnen. Der Logarithmus dieser selben Zahl z für eine andere Basis a ergibt sich daraus, indem man den Wert k für diese andere Basis a aus der dafür gefundenen Reihe genügend genau berechnet und den natürlichen Logarithmus durch dieses k dividiert. Es sei nun, wie im vorherigen Kapitel durch fortwährendes Wurzelziehen, hier nun der dekadische Logarithmus der Zahl 5 erneut berechnet.

1. Schritt - Abschätzen der benötigten Genauigkeit

Nach dem Briggs'schen Verfahren wurde der Logarithmus von 5 auf 7 Stellen genau berechnet. In die Berechnung gehen die Basis a und daraus der Wert k für diese Basis ein, für die vorsichtshalber 11 Stellen Genauigkeit gefordert werden, um keine Eingangsfehler einzuschleppen.

2. Schritt - Berechnung der Euler'schen Zahl mit benötigter Genauigkeit von 11 Stellen

Glied Nr.

Glied

Ergebnis

Summe

Genauigkeit

0

1

1

1

0

1

1 / 1!

1

2

0

2

1 / 2!

0,5

2,5

0

3

1 / 3!

0,16666666666666

2,66666666666666

0

4

1 / 4!

0,04166666666666

2,70833333333333

1

5

1 / 5!

0,00833333333333

2,71666666666666

2

6

1 / 6!

0,00138888888888

2,71805555555555

3

7

1 / 7!

0,00019841269841

2,71825396825397

4

8

1 / 8!

0,00002480158730

2,71827876984127

4

9

1 / 9!

0,00000275573192

2,71828152557319

6

10

1 / 10!

0,00000027557319

2,71828180114638

7

11

1 / 11!

0,00000002505211

2,71828182619849

8

12

1 / 12!

0,00000000208768

2,71828182828617

9

13

1 / 13!

0,00000000016059

2,71828182844676

10

14

1 / 14!

0,00000000001147

2,71828182845823

11

15

1 / 15!

0,00000000000076

2,71828182845899

11

16

1 / 16!

0,00000000000005

2,71828182845904

12

Die Berechnung einer weiteren Stelle ist erforderlich, um die Zuverlässigkeit der letzten zu berechnenden Stelle zu verifizieren.

3. Schritt - Berechnung des Wertes k für die Basis 10 mit benötigter Genauigkeit von 11 Stellen

Noch viel langsamer als die Reihe für die Euler'sche Zahl konvergiert die Reihe für den Wert k. Für die Basis e der natürlichen Logarithmen ist das noch hinnehmbar, weil sie nur ein Mal berechnet werden muß, nicht aber für den Wert von k.

Glied Nr.

Glied

Ergebnis

Summe

Genauigkeit

1

[2·(91)] / [1·(111)]

1,63636363636364

1,63636363636364

0

2

(2·93) / (3·113)

0,36513899323817

2,00150262960180

0

3

(2·95) / (5·115)

0,14665913282128

2,14816176242308

0

4

(2·97) / (7·117)

0,07012626775988

2,21828803018296

0

5

(2·99) / (9·119)

0,03651202370969

2,25480005389265

0

6

(2·911) / (11·1111)

0,01999794536767

2,27479799926032

0

7

(2·913) / (13·1113)

0,01132750751595

2,28612550677627

0

8

(2·915) / (15·1115)

0,00657182667454

2,29269733345081

0

9

(2·917) / (17·1117)

0,00388175469595

2,29657908814676

0

10

(2·919) / (19·1119)

0,00232500052907

2,29890408867583

0

11

(2·921) / (21·1121)

0,00140817623543

2,30031226491126

2

12

(2·923) / (23·1123)

0,00086069269726

2,30117295760852

2

13

(2·925) / (25·1125)

0,00053007289091

2,30170303049943

2

14

(2·927) / (27·1127)

0,00032855757701

2,30203158807644

3

15

(2·929) / (29·1129)

0,00020477498459

2,30223636306102

3

16

(2·931) / (31·1131)

0,00012823685385

2,30236459991487

3

17

(2·933) / (33·1133)

0,00008064180817

2,30244524172304

3

18

(2·935) / (35·1135)

0,00005089859581

2,30249614031885

3

19

(2·937) / (37·1137)

0,00003223085082

2,30252837116967

4

20

(2·939) / (39·1139)

0,00002046956133

2,30254884073099

4

21

(2·941) / (41·1141)

0,00001303433667

2,30256187506767

4

22

(2·943) / (43·1143)

0,00000831962946

2,30257019469713

4

23

(2·945) / (45·1145)

0,00000532181256

2,30257551650969

4

24

(2·947) / (39·1147)

0,00000341093842

2,30257892744811

4

25

(2·949) / (49·1149)

0,00000219015729

2,30258111760540

5

26

(2·951) / (51·1151)

0,00000140864273

2,30258252624813

5

27

(2·953) / (53·1153)

0,00000090739172

2,30258343363985

5

28

(2·955) / (55·1155)

0,00000058533924

2,30258401897910

5

29

(2·957) / (57·1157)

0,00000037808994

2,30258439706904

5

30

(2·959) / (59·1159)

0,00000024452182

2,30258464159086

5

31

(2·961) / (61·1161)

0,00000015832133

2,30258479991219

5

32

(2·963) / (63·1163)

0,00000010261914

2,30258490253133

5

33

(2·965) / (65·1165)

0,00000006658175

2,30258496911308

5

34

(2·967) / (67·1167)

0,00000004324077

2,30258501235385

7

34

(2·967) / (67·1167)

0,00000004324077

2,30258501235385

7

34

(2·967) / (67·1167)

0,00000004324077

2,30258501235385

7

34

(2·967) / (67·1167)

0,00000004324077

2,30258501235385

7

35

(2·969) / (69·1169)

0,00000002810728

2,30258504046113

7

36

(2·971) / (71·1171)

0,00000001828560

2,30258505874673

7

37

(2·973) / (73·1173)

0,00000001190541

2,30258507065214

7

38

(2·975) / (75·1175)

0,00000000775721

2,30258507840935

7

39

(2·977) / (77·1177)

0,00000000505796

2,30258508346731

7

40

(2·979) / (79·1179)

0,00000000330019

2,30258508676750

7

41

(2·981) / (81·1181)

0,00000000215467

2,30258508892217

7

42

(2·983) / (83·1183)

0,00000000140763

2,30258509032980

8

43

(2·985) / (85·1185)

0,00000000092012

2,30258509124992

8

44

(2·987) / (87·1187)

0,00000000060179

2,30258509185171

8

45

(2·989) / (89·1189)

0,00000000039380

2,30258509224551

9

46

(2·991) / (91·1191)

0,00000000025782

2,30258509250333

9

47

(2·993) / (93·1193)

0,00000000016888

2,30258509267221

9

48

(2·995) / (95·1195)

0,00000000011067

2,30258509278289

9

49

(2·997) / (97·1197)

0,00000000007256

2,30258509285545

9

50

(2·999) / (99·1199)

0,00000000004759

2,30258509290304

10

51

(2·9101) / (101·11101)

0,00000000003123

2,30258509293427

10

52

(2·9103) / (103·11103)

0,00000000002050

2,30258509295476

10

53

(2·9105) / (105·11105)

0,00000000001346

2,30258509296822

10

54

(2·9107) / (107·11107)

0,00000000000884

2,30258509297707

10

55

(2·9109) / (109·11109)

0,00000000000581

2,30258509298288

10

56

(2·9111) / (111·11111)

0,00000000000382

2,30258509298670

10

57

(2·9113) / (113·11113)

0,00000000000251

2,30258509298921

10

58

(2·9115) / (115·11115)

0,00000000000165

2,30258509299086

11

59

(2·9117) / (117·11117)

0,00000000000109

2,30258509299195

11

60

(2·9119) / (119·11119)

0,00000000000072

2,30258509299266

11

61

(2·9121) / (121·11121)

0,00000000000047

2,30258509299314

11

62

(2·9123) / (123·11123)

0,00000000000031

2,30258509299345

11

63

(2·9125) / (125·11125)

0,00000000000020

2,30258509299365

11

64

(2·9127) / (127·11127)

0,00000000000013

2,30258509299378

11

65

(2·9129) / (129·11129)

0,00000000000009

2,30258509299387

11

66

(2·9131) / (131·11131)

0,00000000000006

2,30258509299393

11

67

(2·9133) / (133·11133)

0,00000000000004

2,30258509299397

11

68

(2·9135) / (135·11135)

0,00000000000003

2,30258509299400

13

Auch hier ist die Berechnung mindestens noch einer weiteren Stelle erforderlich, um die Zuverlässigkeit der letzten Stelle zu verifizieren.

Made with Cascading Style Sheets