Mathematik der Annuität IX


Eine Exceltabelle zur Ren­ta­bi­li­täts­be­rech­nung ver­mie­teter Eigen­tums­wohn­ung­en steht hier als Datei vmwe.exe (72 KB) zum Down­load zur Verfügung.

Grundkapital- und Ansparverzinsung

Ein recht interes­san­tes Pro­blem er­gibt sich im Zu­sam­men­hang mit ver­mie­te­ten Im­mo­bi­li­en, die nur zum Teil mit Ei­gen­ka­pi­tal fin­an­ziert sind. Aus Miete und lau­fen­den Auf­wen­dungen ein­schließ­lich der Hypo­theken­til­gung er­gibt sich regel­mäßig ein Un­ter­schuß. Mit voll­stän­diger Rück­zahl­ung der Schul­den ist aus dem auf­ge­wen­de­ten Ei­gen­ka­pi­tal und dem lau­fen­den Un­ter­schuß als wei­te­rer Ka­pi­tal­an­sparung der Ein­stands­preis oder, wenn man die Wertentwicklung des Investitionsgutes gleich mit berücksichtigen will, dessen Verkehrs­wert, allgemein der Barwert ge­worden. Welche Kapitalverzinsung liegt nun ins­ge­samt vor ?

Unter der Voraussetzung, daß der Unterschuß während der gesamten Tilgungsdauer unverändert bleibt, entspricht dies der Frage, zu wel­chem gleich­blei­ben­den Zins­satz

ein gegebenes Grundkapital zu Beginn

zuzüglich einer gegebenen Sparrate

an­ge­legt werden müs­sen, um ei­nen vor­ge­ge­be­nen Ka­pi­tal­end­stand bei vor­ge­ge­be­ner Lauf­zeit zu er­rei­chen.

Wachstum des Grundkapitals durch den Zinseszins

Steht wie im vorliegenden Falle ein Grund­ka­pi­tal K auf Zins­es­zins, so er­höhen die peri­odisch an­fal­lenden Zin­sen das Grund­ka­pi­tal, tra­gen also wie­der Zinsen. Nach dem ersten Jahr ist der Ka­pi­tal­stand

Kn = K0 (1 + p)

Wird wie bisher nun wiederum q = 1 + p

gesetzt, so wird das Grundkapital nach zwei Jahren

Kn = (K0 q) q = K0

Man erkennt, dass ganz allgemein Kn = K0 qn

der Kapitalstand nach n Jahren sein muß.

Wachstum durch Ansparung und Zinseszins

Bei der An­spa­rung mit fes­ten Spar­raten wird das zu ver­zin­sen­de Ka­pi­tal lau­fend um den Grund­be­trag der Rate und um die peri­odisch an­fal­len­den Zin­sen erhöht. Es ist im Wesentlichen der glei­che Vor­gang wie die Til­gung ei­nes Dar­lehens, nur eben genau um­ge­kehrt.

Da nun alle den Un­ter­schuß er­zeug­en­den Be­träge, also der Kapitaldienst abzüglich des verbleibenden Überschusses aus Miete abzüglich der Instandhaltungs-, Verwaltungs- und eventuell der Be­triebs- und Heiz­kosten im vo­raus fäl­lig sind, ent­steht auch die da­rin ge­sehene Spar­rate vor­schüs­sig und es gilt gemäß früheren Festellungen

Kn = R q (qn – 1) / (q – 1),

allerdings mit einem gravierenden Unterschied bezüglich des Quotienten q. Da bei der vorschüssigen Tilgung mit gleichbleibender Rate bereits die erste Rate tilgungserhöhenden ersparten Zins enthält, ist q dort entsprechend erhöht. Diese Überlegung gilt vorliegend natürlich nicht; denn bei der Ansparung wird die Dauer der Verzinsung um den ersten Zeitabschnitt und nicht der Kapitalstand erhöht. Also ist für den Zinseszins der Ansparung ebenso wie für den des Grundkapitals

q = 1 + p,

ein Umstand, der die nachfolgende Berechnung wesentlich vereinfacht.

Gesamtwachstum und Zinssatz

Für das Gesamtwachtum aus dem Wachstum des Grundkapitals und dem Wachstum aus der Ansparung dürfen damit die beiden dafür geltenden Gleichungen einfach addiert werden zu

Kn = K0 qn + R q (qn – 1) / (q – 1)

Der gesuchte Gesamtzinssatz steckt wieder im Quotienten q, aber dafür ist die Gleichung nicht elementar lösbar. Wiederum bleibt also nichts weiter übrig, als die Gleichung zur Funktion

f(q) = (K0 + R) q(n + 1) – K0 qn – (Kn + R) q + Kn

umzubilden, deren Nullstellen die Lösungen sind und zu deren Feststellung deren erste Ableitung

f'(q) = (n + 1) (K0 + R) qn – n K0 q(n – 1) – (Kn + R)

benötigt und auf Newtons Iterationsalgorithmus

x' = x0 - y0 / y0'

an­ge­wandt wird. Hier ken­nt man nun keine un­tere oder obere Schranke und kann da­her als Start­wert ein­fach den BGB-Standardzins von 4% ver­wen­den.

Kapitalverzinsungsberechnung

Kapitalverzinsung vermietete Immobilie
Tilgungsdauer in Jahren
Gesamter anfänglicher Eigenkapitaleinsatz
Laufender jährlicher Unterschuß
Barwert der Immobilie nach Ablauf
Kapitalverzinsung

Auch hierzu steht wieder ein in Java­Script ge­schrie­be­nes Rechen­werk­zeug zur Ver­fügung, al­ler­dings nur für die Ka­pi­tal­ver­zin­sung. Die Er­mit­tlung des lau­fen­den Un­ter­schus­ses ist zu sehr von den individuellen Gegeben­heiten der Immo­bilie abhängig. Die Be­rech­nung wird mit ei­nem Klick auf das Er­geb­nis­feld aus­ge­löst.

Made with Cascading Style Sheets