Mathematik der Annuität V


Excel

Die Formel für die Lauf­zeit bei nach­schüs­siger Tilgung ist für Excel®:

= LN(1 + Z / T) / LN(1 + Z)

mit

Zinssatz

Tilgungssatz

Die Berechnung der Laufzeit

Für Hypo­the­ken­dar­lehen wird die Zins­fest­schreib­ung regelmäßig nur auf fünf oder zehn Jahre vereinbart. Die Bestimmung der Darlehens-laufzeit bis zur vollständigen Tilgung des Darlehens ist daher nicht möglich.

Bleiben jedoch die Konditionen des Darlehens bis zur vollständigen Tilgung unverändert oder darf dies jedenfalls mit großer Wahrscheinlichkeit angenommen werden, so gilt für die letzte Rate, mit der das Darlehen vollständig zurückgezahlt wird, die triviale Bedingung

sn >= K0

Die jeweilige Laufzeit n des Darlehens läßt sich damit direkt aus der Summengleichung durch Auflösung nach n bestimmen und ergibt bei

nachschüssiger Fälligkeit

n = ln(1 + p/t ) / ln(1 + p)

vorschüssiger Fälligkeit

n = ln[(q - 1) / (t q) + 1] / ln q

mittschüssiger Fälligkeit

n = ln(p/t + 1) / ln q

Dabei ist natürlich weiterhin zu beachten, dass jede Summengleichung ihren eigenen Quotienten q hat.

Excel

Die Formel für die Lauf­zeit bei vor­schüs­siger Til­gung ist für Excel®:

= LN((Q-1) / (T/Q)+1) / LN(Q)

mit

Quotient = 1 / (1 - Z)

Rechner für Darlehenslaufzeiten

Hier ist nun ein Stand erreicht, der eine erste praktische Anwendung des bislang hergeleiteten Formelwerkes erlaubt. Mit dem nachfolgenden Rechner läßt sich, ausgelöst durch einen Klick auf das Ergebnisfeld, die Tilgungsdauer eines Darlehens für den Fall unveränderter Konditionen während der gesamten Laufzeit ermitteln. Hierbei wird der bisher nur am Rande erwähnte Umstand berücksichtigt, daß im Regelfall mehr als eine Rate pro Jahr zu zahlen ist.

Excel

Die Formel für die Lauf­zeit bei mitt­schüs­siger Til­gung ist für Excel®:

=LN(Z/T + 1) / LN(Q)

mit

Quotient = 2 / (1 - Z) - 1

Berechnung der Tilgungsdauer
Anzahl Raten p.a.
nachschüssig  
vorschüssig
mittschüssig
Zinssatz p.a. %
Tilgungssatz p.a. %
Darlehenslaufzeit Jahre
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